2重根号のはずし方

根号をはずすには,\ 中身が2乗の形でなければならない. そして,\ 2重根号がはずせるのは\ ${ a b} \ }-6zw}( a b)²\ の形の場合である.$ この式の根号の中身を展開してみると,\ 2重根号のはずし方が見えてくる. $ をはずすことができる. 具体的には,\ 次のような2段階の処理で2重根号をはずす. $$${中身の根号の前を無理矢理にでも2にする.$ $$${a+b=○},\ ab=△\ を満たすa,\ bを探し,\ \ {和が5,\ 積が6}となる自然数は,\ 2と3である. x²+5x+6を因数分解するときと同じ要領で探せばよい. このとき,\ a+ bとするのであるから,\ 常に中身a>0,\ b>0である. 実際には,\ 途中過程を書かずにいきなり\ 3+2\ と答えればよい. この程度の問題ならば10秒もあれば終えられるだろう. まず,\ {根号の前が2になるように変形する.}  {32}={48}=28 {和が6,\ 積が8}となる自然数は,\ 4と2である.\ 4=2とするのを忘れない. 2重根号をはずすとき,\ 2-4\ としてはいけない. 2乗の平方根の扱いは,\ {a²}= a\ であった. よって,\ 正確には\ {余計な思考やリスクを減らすために,\ 常にa>bとする癖をつけておくべきである.} a>bとしておけば,\ 安心して,\ a b} \ }-5.3zw}( a b)²= a b\ とできる. 4のうち2だけ残して根号内に入れる. 47=227=2{2²7}=2{28} {和が11,\ 積が28}となる自然数は,\ 7と4である. 3も5も素因数2を持たないので,\ {分数にすることで無理矢理根号の前を2の倍数にする.} さらに,\ 3を根号の中に入れると,\ 根号の前が2になる. 65=235=2{3²5}=2{45} 同時に,\ 平方根の性質ab{b={ a}{ b}\ を適用して根号を分母と分子に分ける. {和が14,\ 積が45}となる自然数は,\ 9と5である.\ 最後は有理化しておく. }次の式の2重根号をはずして簡単にせよ 内側の2重根号から順にはずしていけばよい. 2重根号をはずした後,\ 有理化する必要がある. 分数の分数(繁分数)の扱いは数II}で詳しく学習するが,\ 数\text Iでも普通に登場する. 基本的には{分母分子に同じものを掛ける}のが原則である.\ 本問の場合は2を掛ければよい. 何を掛けてよいかわからない場合などは,\ {(分子)(分母)と考える}最終手段がある. \ 別解のように,\ 先に有理化して2重根号を分子に移動することもできる. 文字であってもやるべきことは本質的に同じである. まずは中身の根号の前を無理矢理2にし,\ さらに根号内を因数分解する. 和が2a,\ 積が(a+2)(a-2)となる2数は,\ a+2とa-2である. 通分し,\ 中身の根号の前を無理矢理2にする.  2+15{2}={4+{15{2}={8+2{15{4} 別解は,\ 式の対称性に着目して一旦2乗を計算するものである. (a+b)²=a²+2ab+b²\ を用いると,\ 2重根号が解消される. このとき,\ 平方根の性質\ {a} b={ab}\ も利用した. さて,\ 注意すべきは{安易に2乗をはずしてはいけない}ということである. 一般に,\ 2乗をはずすと がつく.\ a²=5のとき,\ a=5\;である. このような場合,\ {最終的な答えが正か負かあるいは両方なのかを考慮する}必要が生じる. ○=0でない場合は常に ○>0より,\ 元の式は正である.\ ゆえに,\ 5のみが答えとなる. におけるa,\ bは,\ 自然数でなくても有理数であれば問題なく2重根号をはずせる. 和が{8}{15},\ 積が{1}{15}となる有理数は13と15である.\ 13>15に注意して2重根号をはずす. 最後は通分してもしなくてもよいだろう. 分数の和や積を考えるのが難しいならば,\ 内側の根号を有理化して通分するとよい(別解). 普通に代入して通分し,\ 2重根号をはずしたのが本解である. 基本的には分数の分数は早めに処理したほうがよい. \ 最後,\ 2はもちろんのこと,\ 3でも約分できる. 別解は,\ 有理化後に整理してから代入するものである.\ 2重根号をはずす必要はなくなる.とする誤りが非常に多いので注意!
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