交代式の定義と性質、対称式との関係

交代式の定義 { $$}2変数交代式 ${2つの変数を入れ替えると符号が逆になる式.$ { $$2変数交代式} ${f(x},\ y})=-}f(y},\ x})}が成立する.$ { $$} $x³y-xy³\ においてx→y},\ y→x}\ とすると,\ y³x-yx³となる.$ { $$}  $x³y-xy³=-(y³x-yx³)$,\ つまり$f(x,\ y)=-f(y,\ x)$より,\ 交代式である. { $$}3変数交代式 ${3つの変数のうちどの2つの変数を入れ替えても符号が逆になる式.$ { $$3変数対称式}  { $$} $(x-y)(y-z)(z-x)$で$x→y},\ y→x}$とすると,\ $(y-x)(x-z)(z-y)$となる. { $$}  $(x-y)(y-z)(z-x)=-(y-x)(x-z)(z-y)$より,\ $f(x,\ y,\ z)=-f(y,\ x,\ z)$. { $$}  同様に$f(x,\ y,\ z)=-f(x,\ z,\ y),\ f(x,\ y,\ z)=-f(z,\ y,\ x)$より,\ 交代式. 交代式の重要性質と対称式との関係対称式・交代式の積$ \交代式は2乗すると対称式となる.$ 特に,\ 基本対称式のみで表す次の変形は頻出である. ${x-y}=√{(x-y)²}=√{x²-2xy+y²}=√{(x+y)²-4xy}$ ${2変数交代式は,\ {必ず差(x-y)を因数にもち,\ 残りの因数は対称式となる.{3変数交代式は,\ {差積(x-y)(y-z)(z-x)を因数にもち,\ 残りは対称式.$ f(x,\ y)=f(y,\ x)となる対称式は正,\ f(x,\ y)=-f(y,\ x)となる交代式は負の扱いと考える. より(交代式)(交代式)=(対称式)であるから,\ (交代式)²=(対称式)である. つまり,\ {交代式は2乗すると基本対称式のみで表せる.} ある種の問題では,\ 多少複雑になってでも基本対称式で表すことが重要なのである. この性質は「3変数交代式の因数分解」のページでも説明したが,\ ここで再び説明しておく. 先に因数定理(数II})について簡単に説明する. 方程式x²-3x+2=0を解くとする.\ (x-1)(x-2)=0より,\ x=1,\ 2である. これを逆に考えると,\ x=1を解にもつならば,\ 元の式は因数(x-1)をもつといえる. つまり,\ {=0とした方程式の解を見つけられれば,\ そこから元の式の因数もわかる}のである. まず,\ 2変数交代式f(x,\ y)について,\ f(x,\ y)=-f(y,\ x)が成立している. ここでx=yとすると,\ f(y,\ y)=-f(y,\ y)2f(y,\ y)=0f(y,\ y)=0となる. つまり,\ 2変数交代式f(x,\ y)にx=yを代入すると必ず0になる. これは,\ f(x,\ y)=0が常にx=yを解にもつことを意味する. ゆえに,\ 因数定理より,\ f(x,\ y)が常に(x-y)を因数にもつといえる. ここで,\ 残りの因数をg(x,\ y)とすると,\ f(x,\ y)=(x-y)g(x,\ y)と表される. x-yは交代式で,\ より(対称式)(交代式)=(交代式)なので,\ g(x,\ y)は対称式である. 2変数交代式は,\ 差(x-y)をくくり出してしまえば,\ 対称式の問題に帰着する. のように2乗して対称式に帰着させることもできるが,\ より面倒になるのは明らかである. 3変数交代式f(x,\ y,\ z)について,\ f(x,\ y,\ z)=-f(y,\ x,\ z)が成立している. x=yとすると f(y,\ y,\ z)=-f(y,\ y,\ z)2f(y,\ y,\ z)=0f(y,\ y,\ z)=0 つまり,\ 3変数交代式f(x,\ y,\ z)にx=yを代入すると必ず0になる. これは,\ f(x,\ y,\ z)=0が常にx=yを解にもつことを意味する. ゆえに,\ 因数定理より,\ f(x,\ y,\ z)が常に(x-y)を因数にもつといえる. y=z,\ z=xとしても同様であるから,\ 常に(y-z)と(z-x)も因数にもつ. (x-y)(y-z)(z-x)は交代式であるから,\ 残りの因数は対称式である. 3変数交代式は,\ 差積(x-y)(y-z)(z-x)をくくり出してしまえば,\ 対称式の問題に帰着する.
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