2次3項式ax²+bx+cの因数分解(たすき掛け)

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次の式を因数分解せよ. 2次3項式の因数分解 を例に2次3項式の因数分解の方法を紹介する. 結論から言えば,\ $2x²+5x+3=(x+1)(2x+3)$である. 右辺から左辺に変形(展開)するのは容易だが,\ 左辺から右辺(因数分解)は難しい. どのような思考で変形するとよいのだろうか. 一般化して文字で考えよう.\ $(ax+b)(cx+d)=acx²+(ad+bc)x+bd$である. まず,\ $2}x²+5}x+3}$と$ac}x²+(ad+bc})x+bd}$を見比べる. $ac=2},\ ad+bc=5},\ bd=3}$となる整数$a,\ b,\ c,\ d$を求めると,\ $(ax+b)(cx+d)$とできる. これを求めるとき,\ わかりやすく表にして考えるのが普通で,\ これをたすき掛けという. $2(x²の係数)},\ 3(定数項)},\ 5(xの係数)}$を下に書く. \{掛けて2となる{自}{然}{数}の組み合わせ}を考え,\ $2$の上に書く.\ 今は$12$しかありえない掛けて$3$となる{整}{数}の組み合わせ}を考え,\ 3の上に書く. { [3]}$13,\ 31,\ (-1)(-3),\ (-3)(-1)$の4組の可能性があり得る. { [3]}ただし,\ 斜めに掛け合わせた数を矢印の右に書き,\ その和が5になる}必要がある. { [3]}4組の中でこの条件を満たすのは$13$のみである. [4]$a=1,\ b=1,\ c=2,\ d=3}$であるから,\ ${(x+1)(2x+3)}$と因数分解できるとわかる. で(-1)(-2)とすると,\ [3]で(-1)(-3)として正負を相殺することになる. 矢印の右の数の正負は[3]の正負で調整できるから,\ では両方正(自然数)で考えておけばよい. また,\ で21としても[3]で31とできるから,\ の時点で両方を考慮する必要はない. もしx²の係数が6ならば,\ の時点で16と23の可能性が出てくる. この場合,\ まず一方で[3]を考えてダメなら他方で[3]を考えることになる. このように,\ 係数や定数項の約数が多くなるほど,\ 考えるべき組み合わせが大幅に増えてくる. そのような場合にいかに素早くa,\ b,\ c,\ dを特定できるかが2次3項式の因数分解の勝負である. 問題演習を積み重ねるにつれて,\ 組み合わせを特定するまでの思考が洗練されていくはずである. 例えば,\ 実際に計算してみなくても符号を考えるだけで条件を満たす組み合わせがしぼられる. 矢印の右が(正)+(正)でなければ5(正)にはならない(本問は(正)+(負)にはなりえない). よって,\ 掛けると矢印の右が負になる(-1)(-3),\ (-3)(-1)は,\ 直ちに候補から除外できる. 最後に,\ {因数分解は検算(展開するだけ)が容易なので不安ならば確認しよう.} たすき掛けをした後,\ yを忘れやすいので注意する. たすき掛けの中央部分だが,\ 掛けて4の組は14,\ 41,\ (-1)(-4),\ (-4)(-1)である. 足して-17になるには(負)+(負)しかないから,\ (-1)(-4),\ (-4)(-1)の2択になる. 仮に(-1)(-4)とすると,\ (x-y)(4x-4y)となるわけだが,\ 4x-4y=4(x-y)である. 元の4x²-17xy+4y²から4がくくり出せないので,\ 因数分解後もくくり出せないはず. よって,\ (-1)(-4)の可能性も消え,\ 計算せずとも(-4)(-1)の1択となる. 共通因数2をくくり出せることに気付かなければならない. 因数分解の方法は様々あるが,\ {「共通因数をくくり出す」が常に最優先}であると考えてほしい. これを後回しにするほど計算が面倒になる. いきなりたすき掛けをしようとした人は反省が必要である. なお,\ 共通因数をくくり出すのは{すべての項に共通する因数がある場合}である. 2x²+4x+5=2(x²+2x)+5のように一部だけくくっても意味はない.
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