3変数対称式の因数分解

abc+ab+bc+ca+a+b+c+1$ & $(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$ $(a+b)(b+c)(c+a)+abc$ & $a⁴+b⁴+c⁴-2a²b²-2b²c²-2c²a²$ $(a+b+c)³-a³-b³-c³$ 3変数対称式の因数分解 3変数対称式  3変数のうちどの2つの変数を入れ替えても変わらない式. 元が対称式ならば,\ 因数分解後も対称式となる. 特に,\ ${a+b,\ b+c,\ c+a}$のどれか1つを因数にもつならば,\ 他の2つも因数にもつ. aとbを入れ替えるとbac+ba+ac+cb+b+a+c+1となり,\ 結局元の式と同じになる. bとc,\ cとaを入れ替えても同様であるから,\ 本問は対称式である. 対称式であってもなくても,\ {複数の文字を含む因数分解}であることには変わりない. この型の扱いは,\ {「最も次数が低い文字で整理する」}であった. 対称式ならばどの文字についての次数も同じであるから,\ aで整理すればよいだろう. 本問はaについての1次式であり,\ 整理すると共通因数が見つかるからくくり出す. ここで安心してはならず,\ bで整理することでさらに因数分解できる. 対称式の認識があれば,\ a+1がくくれた時点でb+1,\ c+1も因数にもつはずだと予想できる. 一旦展開してaで整理し直す必要がある. ただ展開するのではなく,\ {( )内をaで整理してからaの式とみて展開する}と後の整理が楽になる. (b+c)=A,\ bc=Bとすると,\ (a+A)(Aa+B)=Aa²+(A²+B)a+AB\ である. 共通因数b+cがみつかるのでくくり出すと,\ aの2次式の因数分解(たすき掛け)に帰着する. 最後,\ 輪環の順a→b→cに整理しておくと美しい. aの式とみて展開し,\ 整理する.\ (b+c)は係数扱いになるから,\ 結局展開する必要はない. 最終的にaの2次式となる.\ 少し複雑だがしょせんは2次式,\ たすき掛けで因数分解できる. ちなみに,\ とは実質同じ関係式である. 一見4次式だが,\ a²=A,\ b²=B,\ c²=Cとすると\ A²+B²+C²-2AB-2BC-2CA\ である. Aで整理すると A²-2(B+C)A+(B²-2BC+C²)=A²-2(B+C)A+(B-C)² B,\ Cを元に戻すと,\ (b²-c²)²={(b+c)(b-c)}²=(b+c)²(b-c)²と因数分解できる. Aの2次式\ A²-2(b²+c²)A+(b+c)²(b-c)²\ としてたすき掛けする. さらに,\ 公式a²-b²=(a+b)(a-b)が適用できる. 最後,\ 対称性がわかりやすいように(a-b-c)=-(b+c-a)としたが,\ 別に必要な訳ではない. b+c=Aとおいて(a+A)³とみて公式(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³を適用する. a²やaの係数をこれ以上展開する必要はない.\ 定数項(b+c)³は一旦展開した後に因数分解する. 共通因数3(b+c)が見つかるのでくくり出すと,\ aの2次式の因数分解(たすき掛け)に帰着する. 公式\ a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²),a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)\ を利用する別解もある. a+b+c=AとおいてA³-a³に公式を適用する.\ また,\ b³+c³にも公式を適用する. 残りは展開して整理する.\ このとき,\ 公式(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca\ を利用する. 共通因数をくくり出していくと,\ aの2次式の因数分解(たすき掛け)に帰着する. 普通にaで整理したが,\ 次数が最も低い文字で整理という原則に従ってbで整理してもよい. 対称性のある問題は,\ 「対称性を崩して解く」か「対称性を保って解く」かを迫られる. 確実に解ける保証がある場合,\ あえて対称性を崩して解くのも有効である. 以上の問題でも1文字で整理すると確実に解けるため,\ $a$を主役にして整理したわけである. しかし,\ やには対称性を保って解くより簡潔で本質的な別解がある. 前提として数IIの因数定理の知識が必要になるので簡単に紹介する. 方程式$x²-3x+2=0$を解くとする.\ $(x-1)(x-2)=0$より,\ $x=1,\ 2$である. これを逆に考えると,\ $x=1$を解にもつならば,\ 元の式は因数$(x-1)$をもつといえる. つまり,\ ${=0}$とした方程式の解を見つけられれば,\ そこから元の式の因数もわかるのである. を考えよう.\ $a$についての方程式とみて,\ 試しに$a=-b}$を代入してみると よって,\ $(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$は$(a+b)$を因数にもつ}ことがわかる. 対称性により,\ $(b+c)$と$(c+a)$も因数にもつ.\ つまり,\ $(a+b)(b+c)(c+a)$を因数にもつ}. さらに,\ 次数に着目する. 1次式$a+b+c$と2次式$ab+bc+ca$の積は3次式,\ $abc$も3次式なので元の式は3次式}. $(a+b),\ (b+c),\ (c+a)$はそれぞれ1次式なので,\ $(a+b)(b+c)(c+a)$は3次式}である. 次数を考慮すると,\ 次のように因数分解できるはずである. ${(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=k(a+b)(b+c)(c+a) (k:定数)$} 右辺にこれ以外の因数もあるとすると,\ 4次以上の式となって左辺と矛盾するからである. $k$を特定するため,\ 両辺に$a=1,\ b=1,\ c=0$を代入}する($k$が求まるなら何でもよい). $(1+1+0)(1+0+0)-0=k211$より,\ $k=1}$である. ${(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=(a+b)(b+c)(c+a)}$} も同様である.\ $a=-b$を代入すると0となるから,\ $a+b$を因数にもつ. 元の式が3次式なので,\ $(a+b+c)³-a³-b³-c³=k(a+b)(b+c)(c+a)}$とおける. $a=1,\ b=1,\ c=0$を代入すると,\ $2³-1³-1³-0=k211$より$k=3}$である. ${(a+b+c)³-a³-b³-c³=3(a+b)(b+c)(c+a)}$} 対称性・因数定理・次数を利用する解法は,\ 対称式より交代式の因数分解で役立つ(次頁).
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