2変数対称式・交代式の値(x²+y²、x³+y³、x²-y²など)

対称式は,\ 基本対称式${x+y},\ xy$}のみで表すことができる. あらかじめ$x+yとxy$の値を求めておき,\ 基本対称式で表してから代入する. xとyをそれぞれ有理化してもよいが,\ 分母が対称ならば{通分によって自動的に有理化される.} ただし,\ で交代式x-yの値を求めることを見越すと,\ それぞれ有理化するのも悪手ではない. ,\ x²+y²=(x+y)²-2xy,x³+y³=(x+y)³-3xy(x+y)}\ は公式であり,\ 瞬殺できる. {,\ }x²+y²の値が既知ならば,\ x³+y³は因数分解公式を利用すると速い(別解). 4乗は2乗の2乗と考え,\ 公式x²+y²=(x+y)²-2xyにおいてx→x²,\ y→y²とする. 指数法則\ a^nb^n=(ab)^n\ も利用する. {5乗以上は低次の因数を組み合わせ,\ 余分な項を引く} つまり,\ (x³+y³)(x²+y²)=x⁵+x³y²+x²y³+y⁵\ から余分なx³y²+x²y³を引く. 普通は公式で求まる3乗と2乗を組み合わせるが,\ 4乗が既知ならば4乗と1乗でもよい. これは,\ 公式\ {x^{n+2}+y^{n+2}=(x^{n+1}+y^{n+1})(x+y)-xy(x^n+y^n)\ (n=3)である. 高次の対称式x^n+y^nの値を順に求めていくことを可能にする応用的な公式である.  n=3のとき x⁵+y⁵=(x⁴+y⁴)(x+y)-xy(x³+y³)  n=4のとき x^6+y^6=(x⁵+y⁵)(x+y)-xy(x⁴+y⁴)  n=5のとき x^7+y^7=(x^6+y^6)(x+y)-xy(x⁵+y⁵) 確実ではあるが面倒なので,\ 対称式の値を求める問題で利用することは少ない. 6乗は3乗の2乗と考えるのが速い.\ 2乗の3乗と考えると,\ のように2通りの方法がある. x⁵+y⁵とx⁴+y⁴が既知ならば,\ 応用的公式の利用も有効である. 3通りの組み合わせが考えられる.\ 既知の値を利用できる組み合わせで求めるとよい. {交代式は2乗すると対称式となる}ことを利用する.\ 2乗をはずすと本来は{60}となる. この場合,\ {元の値が常に正か,\ 常に負か,\ 両方になりうるのかを考慮しなければならない.} (大)5+3>5-3(小)より\ x={(大)}{(小)}>1,\ y={(小)}{(大)}<1\ となるからx>yである. 最初にxとyの値を求めていた場合は普通に代入して求めることができる(別解). ,\ ,\ {2変数交代式は必ず(x-y)を因数にもつ}ことを利用する. {,\ ,\ }因数分解すると必ず(x-y)がくくり出せ,\ 残りは対称式となる. {,\ ,\ }については,\ {x³-y³=(x-y)³+3xy(x-y)\ も公式としておきたい. (11)x⁵-y⁵ができるように低次の因数を組み合わせた後,\ 余分な項を調整する. {(11)}一方を+,\ 他方を-にする必要があることを考慮すると,\ 4通りの組み合わせがある. {(11)}交代式x^n-y^nについては,\ 次の応用的な因数分解公式がある. {(11)}{x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y²++xy^{n-2}+y^{n-1}) {(11)}この公式を用いてまず(x-y)をくくり出したのが最後の別解である. (12)x^6-y^6は3乗の2乗とみることで素早く限界まで因数分解できる. {(11)}2乗の3乗とみると,\ x⁴+y⁴が既知でない場合は少し面倒になる. {(11)}x⁴+x²y²+y⁴=(x²+y²)²-x²y²=(x²+y²+xy)(x²+y²-xy)\ である(複2次式). (13)分数の和(差)の形の対称式は,\ {通分}すると基本対称式で表せる. (14)2乗すると基本対称式で表せる.\ x y={xy}\ である. {(11)}○0のとき常に{○}>0より,\ x+ y>0\ である. {(11)}最初にxとyの値を求めていた場合は2重根号をはずして求めることもできる. とみなせば,\ と同様に2通りの方法で求められる. 容易に求まるxyとx²+y²を先に求め,\ その後で対称式の公式を利用してx+yを求める. 対称式という概念を知らなければ,\ このような解法は思い浮かばないだろう. ○0のとき常に\ {○}>0\ であるから,\ x+y>0である. 2重根号をはずして求めることもできる.  {共通部分を置き換えてみることで本質が浮かび上がる.} 要は\ {(交代式)}{(交代式)}\ であるから(x-y)で約分でき,\ {(対称式)}{(対称式)}\ に帰着する.
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