対称式の定義、基本定理、代表的な変形公式

対称式の定義 { $$}2変数対称式 ${2つの変数を入れ替えても変わらない式.$ { $$2変数対称式 }${f(x},\ y})=f(y},\ x})}が成立する.$ { $$} $x³+xy+y³\ においてx→y},\ y→x}\ とすると,\ y³+yx+x³となる.$ { $$}  $x³+xy+y³=y³+yx+x³$,\ つまり$f(x,\ y)=f(y,\ x)$より,\ 対称式である.}{3変数対称式 ${3つの変数のうちどの2つの変数を入れ替えても変わらない式.$}{3変数対称式} 対称式の基本定理  ${全ての対称式は,\ 基本対称式のみで一意に表される}.$ { $$}${2変数の基本対称式   4変数の基本対称式まで見てみると,\ 規則性がみえてくる. {1文字の和,\ 2文字の和,\ 3文字の和,\ 4文字の和,\ }\ となっていくことがわかる. どんな複雑な式(2変数)でも,\ 対称式ならばx+yとxyのみで表せるという凄まじい定理である. 言い換えると,\ 全ての対称式は基本対称式のみで組み立てることができる. 受験数学の最重要事項の1つであるが,\ 学校の授業・教科書・参考書での扱いは非常に軽い. 対称式および後で示す交代式に関する知識は,\ 受験では常識と考えておかなければならない. また,\ 方程式との深い関わり(解と係数の関係)もあり,\ 数II}で学習する. 代表的な対称式の変形公式} 実際に対称式を基本対称式で表す際に用いることになる公式である. これらは展開公式を少し変形しただけであり,\ 展開公式さえ覚えておけば導ける. しかし,\ これらの超頻出の変形を毎回導くほどの試験時間はないので,\ {公式として暗記}すべきである. 特に,\ は高校数学の中で最も覚えにくい公式の1つなので常に確認しておくこと. 公式\ (x+y)²=x²+2xy+y²\ より x²+y²=(x+y)²-2xy 公式\ (x+y)³=x³+3x²y+3xy²+y³\ より x³+y³=(x+y)³-3x²y-3xy²=(x+y)³-3xy(x+y) 公式\ (x+y+z)²=x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx\ より x²+y²+z²=(x+y+z)²-2(xy+yz+zx) 公式\ (x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx)=x³+y³+z³-3xyz\ より x³+y³+z³=(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx)+3xyz これではまだ基本対称式のみで表せてはいないが,\ を代入することで基本対称式のみの式になる. は上級者用の一般化公式で,\ ある種の問題で利用する.\ 現時点では無理して覚えなくてもよい. 具体的には以下となる.\ 低次の対称式から順に高次の対称式を表していけるわけである. n=0のときx²+y²=(x^1+y^1)(x+y)-2xy ※\ x^0=y^0=1\ (0乗は常に1という決まり). n=1のときx³+y³=(x²+y²)(x+y)-xy(x^1+y^1) n=2のときx⁴+y⁴=(x³+y³)(x+y)-xy(x²+y²) n=3のときx⁵+y⁵=(x⁴+y⁴)(x+y)-xy(x³+y³) { $$}$xとyの対称式において,\ yを1xに変えたもの.$ { $$}$基本対称式の積 より,\ 結局{基本対称式の和x+1xのみで表される}.$ このように割と簡単に導けるが,\ 頻出度を考えると公式として暗記しておくことが望ましい.
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