3変数交代式の因数分解

3変数交代式 3変数のうちどの2つの変数を入れ替えても,\ 元の式と符号が逆になる式. 2変数交代式は,\ 差${(a-b)}$を因数にもち,\ 残りの因数は対称式となる. 3変数交代式は,\ 差積${(a-b)(b-c)(c-a)}$を因数にもち,\ 残りの因数は対称式となる. aとbを入れ替えると\ b²(a-c)+a²(c-b)+c²(b-a)となり,\ 元の式と符号が逆になる. bとc,\ cとaを入れ替えても同様であるから,\ 本問は交代式である. 交代式であってもなくても,\ {複数の文字を含む因数分解}であることには変わりない. この型の基本的な扱いである{「最も次数が低い文字で整理する」}に従えばよい. 交代式ならばどの文字についての次数も同じであるから,\ aで整理すればよいだろう. aで整理する場合,\ a²(b-c)を展開する必要はない. また,\ (b-c)をくくり出すことを見越し,\ +(c²-b²)aではなく-(b²-c²)aとするとよい. 共通因数(b-c)をくくり出すと,\ 2次式の因数分解(たすき掛け)に帰着する. 最後,\ -をくくり出すことで{輪環の順a→b→c→aに整理}できる. $a³(b-c)+b³(c-a)+c³(a-b)$ (b-c)をくくり出すと残りの因数がaの3次式となるが,\ 3次式の因数分解は数II}の知識を要する. bについては2次式であることに着目し,\ bで整理し直すと(c-a)がくくり出せる. 結局,\ bについての2次式の因数分解(たすき掛け)に帰着する. 3変数対称式の因数分解と同様に,\ 対称性・因数定理・次数に着目した解答を考えよう. まず,\ 2変数交代式$f(a,\ b)$の性質を確認する. 交代式は,\ 変数を入れ替えると元の式と符号が逆になる式である. よって,\ $f(a,\ b)=-f(b,\ a)}$が成立する. ここで$a=b}$とすると,\ $f(b,\ b)=-f(b,\ b)2f(b,\ b)=0f(b,\ b)=0}$となる. つまり,\ 2変数交代式$f(a,\ b)$に$a=b$を代入すると必ず0になる. これは,\ 2変数交代式$f(a,\ b)$が必ず$(a-b)$を因数にもつ}ことを意味する(因数定理). 同様に考えると,\ 3変数交代式は差積$(a-b)(b-c)(c-a)$を因数にもつ. 差積$(a-b)(b-c)(c-a)$は,\ 1次式3つの積であるから3次式である. を考える.\ 3次の交代式}なので,\ 次のように因数分解できるはずである. $a²(b-c)+b²(c-a)+c²(a-b)=k}(a-b)(b-c)(c-a)} (k:定数)$} $k$を特定するため,\ 両辺に$a=2,\ b=1,\ c=0$を代入}する($k$が求まるなら何でもよい). $4-2+0=k11(-2)$より,\ $k=-1}$である. ${a²(b-c)+b²(c-a)+c²(a-b)=-(a-b)(b-c)(c-a)}$} を考える.\ 4次の交代式}なので,\ 差積(3次)以外に1次の対称式を因数にもつ}. $a³(b-c)+b³(c-a)+c³(a-b)=k}(a-b)(b-c)(c-a)}(a+b+c)} (k:定数)$} 両辺に$a=2,\ b=1,\ c=0$を代入}すると,\ $6=-6k$より$k=-1}$である. ${a³(b-c)+b³(c-a)+c³(a-b)=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)}$} 試験で問われることはないだろうが,\ 上級者はさらなる発展問題も考えてみてほしい. $a⁴(b-c)+b⁴(c-a)+c⁴(a-b)$} 5次の交代式}なので,\ 差積(3次)以外に2次の対称式を因数にもつ}. $a⁴(b-c)+b⁴(c-a)+c⁴(a-b)$ $=(a-b)(b-c)(c-a)}{k(a²+b²+c²)+l(ab+bc+ca) (k,\ l:定数)$ 両辺に a=2,\ b=1,\ c=0 を代入すると & 7=-5k-2l 両辺に a=1,\ b=0,\ c=-1 を代入すると & 1=-2k+l $ より $k=-1,l=-1$ ${a⁴(b-c)+b⁴(c-a)+c⁴(a-b)}$ $={-(a-b)(b-c)(c-a)(a²+b²+c²+ab+bc+ca)}$
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