次の式を展開せよ.展開の工夫 順序・組み合わせ 多くの式の積を計算する場合,\ いきなり計算し始めてはならない. 式をよく観察し,\ 計算量が少なくなるような順序・組み合わせで計算する. $(2x+y)(2x-y)}(4x²+y²)(16x⁴+y⁴)$ $=(4x²-y²)}(4x²+y²)}(16x⁴+y⁴)=(16x⁴-y⁴)}(16x⁴+y⁴)={256x^8-y^8}$ $(x+y)³(x-y)³={(x+y)(x-y)\³}=(x²-y²)³$ { }${(x+y)³(x-y)³}=(x²)³-3(x²)²y²+3x²(y²)²-(y²)³$ { }${(x+y)³(x-y)³}={x^6-3x⁴y²+3x²y⁴-y^6}$ $(x+2)(x-3)(x²-2x+4)(x²+3x+9)$ $=(x+2)(x²-2x+4)}(x-3)(x²+3x+9)}$ $=(x³+8)}(x³-27)}={x^6-19x³-216}$ $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=(x+1)(x+4)}(x+2)(x+3)}$ { }${(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}=(x²+5x}+4)(x²+5x}+6)$ { }${(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}={(x²+5x)+4}{(x²+5x)+6}$ { }${(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}=(x²+5x)²+10(x²+5x)+24$ { }${(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}=x⁴+10x³+25x²+10x²+50x+24$ { }${(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}={x⁴+10x³+35x²+50x+24}$ 公式(a+b)(a-b)=a²-b²が使える順序で計算していく. この公式は各展開公式の中で最も簡潔なので最優先である. 指数法則(ab)^n=a^nb^nを逆に用いて1つにまとめる. 公式(a+b)(a-b)=a²-b²が使える上,\ 1回の3乗で済むようになる. (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³\ である. 公式(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³,(a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³\ を利用できる. 問題演習を積んでいなければ気付くのが難しい公式である. 共通部分ができるように組み合わせて計算する.\ 1+4=2+3=5に着目すればよい. 後は(A+4)(A+6)の計算に帰着する. $(x²+xy+y²)(x²-xy+y²)(x⁴-x²y²+y⁴)$ $(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)$ $(x+y+z)²-(x-y-z)²-(x-y+z)²+(x+y-z)²$ $(x+y+z)³-(y+z-x)³-(x-y+z)³-(x+y-z)³$ $(x²+xy+y²)(x²-xy+y²)(x⁴-x²y²+y⁴)$ $={(x²+y²)+xy}{(x²+y²)-xy(x⁴-x²y²+y⁴)$ $={(x²+y²)²-(xy)²}(x⁴-x²y²+y⁴)$ $=(x⁴+2x²y²+y⁴-x²y²)(x⁴-x²y²+y⁴)$ $=(x⁴+x²y²+y⁴)(x⁴-x²y²+y⁴)$ $={(x⁴+y⁴)+x²y²}{(x⁴+y⁴)-x²y²$ $=(x⁴+y⁴)²-(x²y²)²$ $=x^8+2x⁴y⁴+y^8-x⁴y⁴$ $={x^8+x⁴y⁴+y^8}$ $(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)$ $={x+(y+z)}{-x+(y+z){x-(y-z)}{x+(y-z)$ $={-x²+(y+z)²{x²-(y-z)²$ $=-x⁴+{(y+z)²+(y-z)²}x²-(y+z)²(y-z)²$ $=-x⁴+{y²+2yz+z²+y²-2yz+z²)}x²-{(y+z)(y-z)}²$ $=-x⁴+(2y²+2z²)x²-(y²-z²)²$ $=-x⁴+2x²y²+2x²z²-(y⁴-2y²z²+z⁴)$ $={-x⁴-y⁴-z⁴+2x²y²+2y²z²+2z²x²}$ $(x+y+z)²-(x-y-z)²-(x-y+z)²+(x+y-z)²$ $={x+(y+z)}²}-{x-(y+z)}²}-{x-(y-z)}²}+{x+(y-z)}²}$ $=x²}+2x(y+z)+(y+z)²-{x²}-2x(y+z)+(y+z)²}$ $-{x²}-2x(y-z)+(y-z)²}+x²}+2x(y-z)+(y-z)²$ $=4x(y+z)+4x(y-z)=4xy+4xz+4xy-4xz={8xy}$ $(x+y+z)²-(x-y-z)²-(x-y+z)²+(x+y-z)²$ $=(x+y+z)²-(x-y-z)²}+(x+y-z)²-(x-y+z)²}$ $={(x+y}+z})+(x-y}-z})}{(x}+y+z)-(x}-y-z)$ $+{(x+y}-z})+(x-y}+z})}{(x}+y-z)-(x}-y+z)$ $=2x(2y+2z)}+2x(2y-2z)}=4xy+4xz+4xy-4xz={8xy}$ $(x+y+z)³-(y+z-x)³-(x-y+z)³-(x+y-z)³$ $={(y+z)+x\³}-{(y+z)-x\³}-{x-(y-z)\³}-{x+(y-z)\³}$ $=(y+z)³}+3(y+z)²x+3(y+z)x²}+x³}$ $-{(y+z)³}-3(y+z)²x+3(y+z)x²}-x³$ $-{x³-3x²(y-z)}+3x(y-z)²-(y-z)³}$ $-{x³+3x²(y-z)}+3x(y-z)²+(y-z)³}$ $=6(y+z)²x+2x³}-2x³}-6x(y-z)²$ $=6x(y²+2yz+z²)-6x(y²-2yz+z²)$ $=6xy²+12xyz+6xz²-6xy²+12xyz-6xz²$ $={24xyz}$ 共通部分を1つのカタマリとみると,\ 公式(a+b)(a-b)=a²-b²の形である. 公式を適用して変形していくと,\ 再び公式の形に帰着する. ここで,\ {対称式}について軽く述べておく(詳細は別ページ). 対称式とは,\ xとyを入れ替えても変わらない式のことである. 例えば,\ x²+y²のxとyを入れ替えるとy²+x²となり,\ 結局同じ式になる. 本問のxとyを入れ替えると,\ (y²+yx+x²)(y²-yx+x²)(y⁴-y²x²+x⁴)\ である. これは元の式と同じであるから,\ 本問は対称式の展開である. {対称式を展開すると答えも対称式になる.}\ xとyが完全に対等なので当然だろう. この知識は一定の検算効果をもつ.\ 答えが対称式にならなければ計算ミスである. 前2つの積と後2つの積でそれぞれ共通部分を作ると,\ (a+b)(a-b)=a²-b²の形になる. 公式を適用すると,\ (-A+B)(A-C)の展開に帰着する(x²=A,\ y+z=B,\ C=y-z). これを普通に展開する.\ -A²+(B+C)A-BCとなる. (y+z)²(y-z)²は,\ 指数法則(ab)^n=a^nb^nの逆で1つの2乗として計算する. B+C=(y+z)²+(y-z)²は普通に計算するだけだが,\ 実はの核心である. 本問は,\ {3文字x,\ y,\ zについての対称式}である. つまり,\ 3文字のうちのどの2文字を入れ替えても同じ式になる. よって,\ 答えも3文字x,\ y,\ zについての対称式となる. 一般に,\ {和の2乗と差の2乗を組み合わせて計算すると一部が消えるので簡潔な式となる.} (a+b)²+(a-b)²=(a²+2ab+b²)+(a²-2ab+b²)=2a²+2b² (a+b)²-(a-b)²=(a²+2ab+b²)-(a²-2ab+b²)=4ab ₀ 共通部分を1つのカタマリとみなし,\ 和の2乗と差の2乗として計算するのがポイントである. 実は,\ {一旦a²-b²=(a+b)(a-b)を用いて因数分解する}別解が簡潔である. a²-b²を計算する問題で,\ a+bやa-bが簡単になる場合にこの解法が有効である. やや技巧的だが,\ 以下のような計算で意外によく使える方法である. 524²-124²=(524+124)(524-124)=648400=259200 斜辺35,\ 1辺14の直角三角形のもう1辺をxとすると x²+14²=35²\ (三平方の定理) x={35²-14²}={(35+14)(35-14)}={4921}=7{21} {和の3乗と差の3乗も組み合わせて計算すると一部が消えるので簡潔な式となる.} (a+b)³+(a-b)³=(a³+3a²b+3ab²+b³)+(a³-3a²b+3ab²-b³)=2a³+6ab² (a+b)³-(a-b)³=(a³+3a²b+3ab²+b³)-(a³-3a²b+3ab²-b³)=6a²b+2b³
