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分母が$\bm{\ruizyoukon a\pm\ruizyoukon b}$の分数}}は,\ $\bm{\textcolor{red}{(\ruizyoukon a+\ruizyoukon b\,)(\ruizyoukon a-\ruizyoukon b\,)=a-b}}\ を利用して有理化する.$ \\[.2zh] 分母が$\ruizyoukon a+\ruizyoukon b$ならば分母分子に$\ruizyoukon a-\ruizyoukon b$を,\ 分母が$\ruizyoukon a-\ruizyoukon b$ならば$\ruizyoukon a+\ruizyoukon b$を掛ける.
念のために確認しておくと,\ (\ruizyoukon a+\ruizyoukon b\,)(\ruizyoukon a-\ruizyoukon b\,)=(\ruizyoukon a\,)^2-(\ruizyoukon b\,)^2=a-b\ である. \\[1zh] (1)\ \ 途中過程を丁寧に記述したが,\ 実際には(\ruizyoukon7+\ruizyoukon2\,)(\ruizyoukon7-\ruizyoukon2\,)=5のように暗算しよう. \\[1zh] (2)\ \ 安易に分子を展開してはならない.\ 約分できる場合は約分してから展開する. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ 有理化の計算問題では普通最後に展開するが,\ 他の問題では因数分解した形で答えることが多い. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ 3(\ruizyoukon6+\ruizyoukon3)=3\ruizyoukon3\,(\ruizyoukon2+1) \\[1zh] (3)\ \ それぞれの分数を有理化した後で足し合わせてもよいが,\ \bm{有理化と通分を同時に行う}と速い. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ \bunsuu{○}{\ruizyoukon a+\ruizyoukon b}+\bunsuu{□}{\ruizyoukon a-\ruizyoukon b}\ のような形の計算問題で有効な方法である. \\[1zh] (4)\ \ まずはそれぞれの分数を有理化する.\ その後\,\bunsuu12\,がくくり出せるのでさっさと出しておく. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ 規則性をよく観察すると多くの項が消えるので,\ 残ったものを計算すればよい. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ わかりにくいという人は並び替えて考えると,\ 最初と最後だけが残ることに気付けるだろう. \\[.2zh] \phantom{(2)}\ \ このように途中の項が消える和は,\ 数\text Bの数列で詳しく学習する.
分母が3項の場合,\ 一度の計算では完全に有理化できない.\ まず,\ \bm{2項を1カタマリとして扱う.} \\[.2zh] このとき,\ どの2項を1カタマリとするかは3通り考えられるので,\ 後の計算が楽になるものを選ぶ. \\[.2zh] を考慮すると,\ (\ruizyoukon2+\ruizyoukon3\,)+\ruizyoukon5\ として扱うと楽になる. \\[.2zh] 分母分子に(\ruizyoukon2+\ruizyoukon3\,)-\ruizyoukon5\ を掛けて整理すると,\ 分母が2\ruizyoukon6\ になり,\ 普通の有理化に帰着する. \\[.2zh] ここでは丁寧に記述したが,\ (\ruizyoukon2+\ruizyoukon3\,)^2=5+2\ruizyoukon6\ くらいは暗算する癖をつけておきたい. \\[.2zh] 常に1回で分母を1つの項にできるとは限らない.\ 問題によっては別解のように頑張るしかない. \\[.2zh] -\,6-2\ruizyoukon{15}\,は-2をくくり出してから有理化しないと計算が大変になる.
(\ruizyoukon7\,)^2=(\ruizyoukon3\,)^2+2^2\,を考慮し,\ (\ruizyoukon3-2)を1カタマリとして扱う. \\[.2zh] また,\ 有理化と通分を同時に行える型である. \\[.2zh] 分子の展開では,\ 共通部分(\ruizyoukon7+\ruizyoukon3\,)や(\ruizyoukon7-\ruizyoukon3\,)を1カタマリとして扱うと楽になる.
\bm{分母が4項の場合は2項ずつをそれぞれ1カタマリとして扱う.} \\[.2zh] 本問の場合はたまたま2乗後に\,\ruizyoukon6\,しか残らないので,\ あと1回の有理化で済む. \\[.2zh] 分母が因数分解できることに気付けば,\ 別解のような解答も可能になる. \\[.2zh]