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次の式を展開せよ.展開の工夫\maru2 順序・組み合わせ}}}} \\\\[.5zh] 多くの式の積を計算する場合,\ いきなり計算し始めてはならない. \\[.2zh] \textbf{\textcolor{red}{式をよく観察し,\ 計算量が少なくなるような順序・組み合わせで計算する.}} \\\\\\
(1)\ \ $\textcolor{red}{\underline{\textcolor{black}{(2x+y)(2x-y)}}}(4x^2+y^2)(16x^4+y^4)$ \\[.2zh] $=\textcolor{red}{\underline{\textcolor{cyan}{(4x^2-y^2)}}}\textcolor{cyan}{(4x^2+y^2)}(16x^4+y^4)=\textcolor{cyan}{(16x^4-y^4)}(16x^4+y^4)=\bm{256x^8-y^8}$ \\\\
(2)\ \ $(x+y)^3(x-y)^3=\textcolor{red}{\{(x+y)(x-y)\}^3}=(x^2-y^2)^3$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{(x+y)^3(x-y)^3}=(x^2)^3-3(x^2)^2y^2+3x^2(y^2)^2-(y^2)^3$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{(x+y)^3(x-y)^3}=\bm{x^6-3x^4y^2+3x^2y^4-y^6}$ \\\\
(3)\ \ $(x+2)(x-3)(x^2-2x+4)(x^2+3x+9)$ \\[.2zh] $=\textcolor{cyan}{(x+2)(x^2-2x+4)}\textcolor{magenta}{(x-3)(x^2+3x+9)}$ \\[.2zh] $=\textcolor{cyan}{(x^3+8)}\textcolor{magenta}{(x^3-27)}=\bm{x^6-19x^3-216}$ \\\\
(4)\ \ $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=\textcolor{cyan}{(x+1)(x+4)}\textcolor{magenta}{(x+2)(x+3)}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}=(\textcolor{red}{x^2+5x}+4)(\textcolor{red}{x^2+5x}+6)$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}=\{(x^2+5x)+4\}\{(x^2+5x)+6\}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}=(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+24$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}=x^4+10x^3+25x^2+10x^2+50x+24$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\phantom{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}=\bm{x^4+10x^3+35x^2+50x+24}$
(1)\ \ 公式(a+b)(a-b)=a^2-b^2\,が使える順序で計算していく. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ この公式は各展開公式の中で最も簡潔なので最優先である. \\[1zh] (2)\ \ 指数法則\,(ab)^n=a^nb^n\,を逆に用いて1つにまとめる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 公式(a+b)(a-b)=a^2-b^2\,が使える上,\ 1回の3乗で済むようになる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\ である. \\[1zh] (3)\ \ 公式(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3,\ \ (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\ を利用できる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 問題演習を積んでいなければ気付くのが難しい公式である. \\[1zh] (4)\ \ 共通部分ができるように組み合わせて計算する.\ 1+4=2+3=5に着目すればよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 後は(A+4)(A+6)の計算に帰着する.
\hspace{.5zw} (1)\ \ $(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $(x+y+z)(-\,x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ $(x+y+z)^2-(x-y-z)^2-(x-y+z)^2+(x+y-z)^2$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} (4)\ \ $(x+y+z)^3-(y+z-x)^3-(x-y+z)^3-(x+y-z)^3$ \\
(1)\ \ $(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)$ \\[.2zh] $=\textcolor{red}{\{(x^2+y^2)+xy\}\{(x^2+y^2)-xy\}}(x^4-x^2y^2+y^4)$ \\[.2zh] $=\{(x^2+y^2)^2-(xy)^2\}(x^4-x^2y^2+y^4)$ \\[.2zh] $=(x^4+2x^2y^2+y^4-x^2y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)$ \\[.2zh] $=(x^4+x^2y^2+y^4)(x^4-x^2y^2+y^4)$ \\[.2zh] $=\textcolor{red}{\{(x^4+y^4)+x^2y^2\}\{(x^4+y^4)-x^2y^2\}}$ \\[.2zh] $=(x^4+y^4)^2-(x^2y^2)^2$ \\[.2zh] $=x^8+2x^4y^4+y^8-x^4y^4$ \\[.2zh] $=\bm{x^8+x^4y^4+y^8}$ \\\\
(2)\ \ $(x+y+z)(-\,x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)$ \\[.2zh] $=\textcolor{cyan}{\{x+(y+z)\}\{-\,x+(y+z)\}}\textcolor{magenta}{\{x-(y-z)\}\{x+(y-z)\}}$ \\[.2zh] $=\textcolor{cyan}{\{-\,x^2+(y+z)^2\}}\textcolor{magenta}{\{x^2-(y-z)^2\}}$ \\[.2zh] $=-\,x^4+\{(y+z)^2+(y-z)^2\}x^2-(y+z)^2(y-z)^2$ \\[.2zh] $=-\,x^4+\{y^2+2yz+z^2+y^2-2yz+z^2)\}x^2-\{(y+z)(y-z)\}^2$ \\[.2zh] $=-\,x^4+(2y^2+2z^2)x^2-(y^2-z^2)^2$ \\[.2zh] $=-\,x^4+2x^2y^2+2x^2z^2-(y^4-2y^2z^2+z^4)$ \\[.2zh] $=\bm{-\,x^4-y^4-z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2z^2x^2}$ \\\\
(3)\ \ $(x+y+z)^2-(x-y-z)^2-(x-y+z)^2+(x+y-z)^2$ \\[.2zh] $=\textcolor{cyan}{\{x+(y+z)\}^2}-\textcolor{magenta}{\{x-(y+z)\}^2}-\textcolor{ForestGreen}{\{x-(y-z)\}^2}+\textcolor{red}{\{x+(y-z)\}^2}$ \\[.2zh] $=\textcolor{cyan}{\teisei{x^2}+2x(y+z)+\teisei{(y+z)^2}}-\textcolor{magenta}{\{\teisei{x^2}-2x(y+z)+\teisei{(y+z)^2}\}}$ \\[.2zh] $-\,\textcolor{ForestGreen}{\{\teisei{x^2}-2x(y-z)+\teisei{(y-z)^2}\}}+\textcolor{red}{\teisei{x^2}+2x(y-z)+\teisei{(y-z)^2}}$ \\[.2zh] $=4x(y+z)+4x(y-z)=4xy+4xz+4xy-4xz=\bm{8xy}$ \\\\
\betu\ \ $(x+y+z)^2-(x-y-z)^2-(x-y+z)^2+(x+y-z)^2$ \\[.2zh] $=\textcolor{cyan}{(x+y+z)^2-(x-y-z)^2}+\textcolor{magenta}{(x+y-z)^2-(x-y+z)^2}$ \\[.2zh] $=\textcolor{cyan}{\{(x+\teisei{y}+\teisei{z})+(x-\teisei{y}-\teisei{z})\}\{(\teisei{x}+y+z)-(\teisei{x}-y-z)\}}$ \\[.2zh] $+\,\textcolor{magenta}{\{(x+\teisei{y}-\teisei{z})+(x-\teisei{y}+\teisei{z})\}\{(\teisei{x}+y-z)-(\teisei{x}-y+z)\}}$ \\[.2zh] $=\textcolor{cyan}{2x(2y+2z)}+\textcolor{magenta}{2x(2y-2z)}=4xy+4xz+4xy-4xz=\bm{8xy}$ \\\\
(4)\ \ $(x+y+z)^3-(y+z-x)^3-(x-y+z)^3-(x+y-z)^3$ \\[.2zh] $=\textcolor{cyan}{\{(y+z)+x\}^3}-\textcolor{magenta}{\{(y+z)-x\}^3}-\textcolor{ForestGreen}{\{x-(y-z)\}^3}-\textcolor{red}{\{x+(y-z)\}^3}$ \\[.2zh] $=\textcolor{cyan}{\teisei{(y+z)^3}+3(y+z)^2x+\teisei{3(y+z)x^2}+x^3}$ \\[.2zh] $-\,\textcolor{magenta}{\{\teisei{(y+z)^3}-3(y+z)^2x+\teisei{3(y+z)x^2}-x^3\}}$ \\[.2zh] $-\,\textcolor{ForestGreen}{\{x^3-\teisei{3x^2(y-z)}+3x(y-z)^2-\teisei{(y-z)^3}\}}$ \\[.2zh] $-\,\textcolor{red}{\{x^3+\teisei{3x^2(y-z)}+3x(y-z)^2+\teisei{(y-z)^3}\}}$ \\[.2zh] $=6(y+z)^2x+\teisei{2x^3}-\teisei{2x^3}-6x(y-z)^2$ \\[.2zh] $=6x(y^2+2yz+z^2)-6x(y^2-2yz+z^2)$ \\[.2zh] $=6xy^2+12xyz+6xz^2-6xy^2+12xyz-6xz^2$ \\[.2zh] $=\bm{24xyz}$ \\\\\\
(1)\ \ 共通部分を1つのカタマリとみると,\ 公式(a+b)(a-b)=a^2-b^2\,の形である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 公式を適用して変形していくと,\ 再び公式の形に帰着する. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ ここで,\ \bm{対称式}について軽く述べておく(詳細は別ページ). \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 対称式とは,\ xとyを入れ替えても変わらない式のことである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 例えば,\ x^2+y^2\,のxとyを入れ替えるとy^2+x^2\,となり,\ 結局同じ式になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 本問のxとyを入れ替えると,\ (y^2+yx+x^2)(y^2-yx+x^2)(y^4-y^2x^2+x^4)\ である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ これは元の式と同じであるから,\ 本問は対称式の展開である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{対称式を展開すると答えも対称式になる.}\ xとyが完全に対等なので当然だろう. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ この知識は一定の検算効果をもつ.\ 答えが対称式にならなければ計算ミスである. \\[1zh] (2)\ \ 前2つの積と後2つの積でそれぞれ共通部分を作ると,\ (a+b)(a-b)=a^2-b^2\,の形になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 公式を適用すると,\ (-A+B)(A-C)の展開に帰着する(x^2=A,\ y+z=B,\ C=y-z). \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ これを普通に展開する.\ -A^2+(B+C)A-BCとなる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ (y+z)^2(y-z)^2\,は,\ 指数法則(ab)^n=a^nb^n\,の逆で1つの2乗として計算する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ B+C=(y+z)^2+(y-z)^2\,は普通に計算するだけだが,\ 実は(3)の核心である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 本問は,\ \bm{3文字x,\ y,\ zについての対称式}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ 3文字のうちのどの2文字を入れ替えても同じ式になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 答えも3文字x,\ y,\ zについての対称式となる. \\[1zh] (3)\ \ 一般に,\ \bm{和の2乗と差の2乗を組み合わせて計算すると一部が消えるので簡潔な式となる.} \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \  \begin{cases}
(a+b)^2+(a-b)^2=(a^2+2ab+b^2)+(a^2-2ab+b^2)=2a^2+2b^2 \\[.2zh] (a+b)^2-(a-b)^2=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=4ab
\end{cases} \\\\[-1zh] \phantom{(1)}\ \ 共通部分を1つのカタマリとみなし,\ 和の2乗と差の2乗として計算するのがポイントである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 実は,\ \bm{一旦a^2-b^2=(a+b)(a-b)を用いて因数分解する}別解が簡潔である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ a^2-b^2\,を計算する問題で,\ a+bやa-bが簡単になる場合にこの解法が有効である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ やや技巧的だが,\ 以下のような計算で意外によく使える方法である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \  \rei\ \ 524^2-124^2=(524+124)(524-124)=648\times400=259200 \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \  \rei\ \ 斜辺35,\ 1辺14の直角三角形のもう1辺をxとすると x^2+14^2=35^2\ (三平方の定理) \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \   \ \ x=\ruizyoukon{35^2-14^2}=\ruizyoukon{(35+14)(35-14)}=\ruizyoukon{49\cdot21}=7\ruizyoukon{21} \\[1zh] (4)\ \ \bm{和の3乗と差の3乗も組み合わせて計算すると一部が消えるので簡潔な式となる.} \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \  \begin{cases}
(a+b)^3+(a-b)^3=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)+(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3)=2a^3+6ab^2 \\[.2zh] (a+b)^3-(a-b)^3=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)-(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3)=6a^2b+2b^3