検索用コード
根号をはずすには,\ 中身が2乗の形でなければならない. \\[.2zh] そして,\ 2重根号がはずせるのは\ $\bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{\ruizyoukon{\phantom{\ruizyoukon a\pm\ruizyoukon b} \ }\hspace{-6zw}(\ruizyoukon a\pm\ruizyoukon b)^2\ の形の場合}}である.$ \\[.2zh] この式の根号の中身を展開してみると,\ 2重根号のはずし方が見えてくる. \{\triangle}}}$ をはずすことができる. \\[.2zh] 具体的には,\ 次のような2段階の処理で2重根号をはずす. \\\\
$[1]$\ \ $\bm{\textcolor{red}{中身の根号の前を無理矢理にでも2にする.}}$ \\[.5zh] $[2]$\ \ $\bm{\textcolor{cyan}{a+b=○},\ \textcolor{magenta}{ab=△}}\ を満たすa,\ bを探し,\ \
(1)\ \ \bm{和が5,\ 積が6}となる自然数は,\ 2と3である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ x^2+5x+6を因数分解するときと同じ要領で探せばよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このとき,\ \ruizyoukon a+\ruizyoukon b\,とするのであるから,\ 常に中身a>0,\ b>0である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 実際には,\ 途中過程を書かずにいきなり\ \ruizyoukon3+\ruizyoukon2\ と答えればよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ この程度の問題ならば10秒もあれば終えられるだろう. \\[1zh] (2)\ \ まず,\ \bm{根号の前が2になるように変形する.}  \ruizyoukon{32}=\ruizyoukon{4\cdot8}=2\ruizyoukon8 \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{和が6,\ 積が8}となる自然数は,\ 4と2である.\ \ruizyoukon4=2とするのを忘れない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 2重根号をはずすとき,\ \ruizyoukon2-\ruizyoukon4\ としてはいけない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 2乗の平方根の扱いは,\ \ruizyoukon{a^2}=\zettaiti a\ であった. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 正確には\
\phantom{(1)}\ \ \bm{余計な思考やリスクを減らすために,\ 常にa>bとする癖をつけておくべきである.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ a>bとしておけば,\ 安心して,\ \ruizyoukon{\phantom{\ruizyoukon a\pm\ruizyoukon b} \ }\hspace{-5.3zw}(\ruizyoukon a\pm\ruizyoukon b)^2=\ruizyoukon a\pm\ruizyoukon b\ とできる. \\[1zh] (3)\ \ 4のうち2だけ残して根号内に入れる. 4\ruizyoukon7=2\cdot2\ruizyoukon7=2\ruizyoukon{2^2\cdot7}=2\ruizyoukon{28} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{和が11,\ 積が28}となる自然数は,\ 7と4である. \\[1zh] (4)\ \ 3も5も素因数2を持たないので,\ \bm{分数にすることで無理矢理根号の前を2の倍数にする.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ さらに,\ 3を根号の中に入れると,\ 根号の前が2になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 6\ruizyoukon5=2\cdot3\ruizyoukon5=2\ruizyoukon{3^2\cdot5}=2\ruizyoukon{45} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 同時に,\ 平方根の性質\,\ruizyoukon{\bunsuu{a\vphantom{b}}{b}}=\bunsuu{\ruizyoukon a}{\ruizyoukon b}\ を適用して根号を分母と分子に分ける. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{和が14,\ 積が45}となる自然数は,\ 9と5である.\ 最後は有理化しておく.
}次の式の2重根号をはずして簡単にせよ
内側の2重根号から順にはずしていけばよい.
2重根号をはずした後,\ 有理化する必要がある. \\[.2zh] 分数の分数(繁分数)の扱いは数\text{I\hspace{-.1em}I}で詳しく学習するが,\ 数\text Iでも普通に登場する. \\[.2zh] 基本的には\bm{分母分子に同じものを掛ける}のが原則である.\ 本問の場合は\,\ruizyoukon2\,を掛ければよい. \\[.2zh] 何を掛けてよいかわからない場合などは,\ \bm{(分子)\div(分母)と考える}最終手段がある. \
別解のように,\ 先に有理化して2重根号を分子に移動することもできる.
文字であってもやるべきことは本質的に同じである. \\[.2zh] まずは中身の根号の前を無理矢理2にし,\ さらに根号内を因数分解する. \\[.2zh] 和が2a,\ 積が(a+2)(a-2)となる2数は,\ a+2とa-2である.
通分し,\ 中身の根号の前を無理矢理2にする.  2+\bunsuu{\ruizyoukon{15}}{2}=\bunsuu{4+\ruizyoukon{15}}{2}=\bunsuu{8+2\ruizyoukon{15}}{4} \\[1zh] 別解は,\ 式の対称性に着目して一旦2乗を計算するものである. \\[.2zh] (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\ を用いると,\ 2重根号が解消される. \\[.2zh] このとき,\ 平方根の性質\ \ruizyoukon{a}\ruizyoukon b=\ruizyoukon{ab}\ も利用した.\\[1zh] さて,\ 注意すべきは\bm{安易に2乗をはずしてはいけない}ということである. \\[.2zh] 一般に,\ 2乗をはずすと\pm がつく.\ a^2=5のとき,\ a=\pm\ruizyoukon5\;である. \\[.2zh] このような場合,\ \bm{最終的な答えが正か負かあるいは両方なのかを考慮する}必要が生じる. \\[.2zh] ○=0でない場合は常に\,\ruizyoukon ○>0より,\ 元の式は正である.\ ゆえに,\ \ruizyoukon5\,のみが答えとなる.
におけるa,\ bは,\ 自然数でなくても有理数であれば問題なく2重根号をはずせる. \\[.6zh] 和が\,\bunsuu{8}{15},\ 積が\,\bunsuu{1}{15}\,となる有理数は\,\bunsuu13\,と\,\bunsuu15\,である.\ \bunsuu13>\bunsuu15\,に注意して2重根号をはずす. \\[.8zh] 最後は通分してもしなくてもよいだろう. \\[.2zh] 分数の和や積を考えるのが難しいならば,\ 内側の根号を有理化して通分するとよい(別解).
普通に代入して通分し,\ 2重根号をはずしたのが本解である. \\[.2zh] 基本的には分数の分数は早めに処理したほうがよい. \
最後,\ 2はもちろんのこと,\ \ruizyoukon3\,でも約分できる. \\[1zh] 別解は,\ 有理化後に整理してから代入するものである.\ 2重根号をはずす必要はなくなる.とする誤りが非常に多いので注意!