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交代式の定義}} \\\\
\phantom{ $[1]$}\ \ \textbf{\textcolor{blue}{2変数交代式}} $\bm{\textcolor{red}{2つの変数を入れ替えると符号が逆になる式.}}$ \\[.2zh] \phantom{ $[1]$\ \ \textbf{\textcolor{blue}{2変数交代式}}} $\bm{f(\textcolor{cyan}{x},\ \textcolor{magenta}{y})=\textcolor{red}{-}\,f(\textcolor{magenta}{y},\ \textcolor{cyan}{x})}が成立する.$ \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ \  \rei\ \ $x^3y-xy^3\ において\textcolor{red}{x\,→\,y},\ \textcolor{red}{y\,→\,x}\ とすると,\ y^3x-yx^3\,となる.$ \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ \   \ \ $x^3y-xy^3=-\,(y^3x-yx^3)$,\ つまり$f(x,\ y)=-\,f(y,\ x)$より,\ 交代式である. \\\\
\phantom{ $[1]$}\ \ \textbf{\textcolor{blue}{3変数交代式}} $\bm{\textcolor{red}{3つの変数のうちどの2つの変数を入れ替えても符号が逆になる式.}}$ \\[.5zh] \phantom{ $[1]$\ \ \textbf{\textcolor{blue}{3変数対称式}}} 
\phantom{ $[1]$}\ \  \rei\ \ $(x-y)(y-z)(z-x)$で$\textcolor{red}{x\,→\,y},\ \textcolor{red}{y\,→\,x}$とすると,\ $(y-x)(x-z)(z-y)$となる. \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ \   \ \ $(x-y)(y-z)(z-x)=-\,(y-x)(x-z)(z-y)$より,\ $f(x,\ y,\ z)=-\,f(y,\ x,\ z)$. \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ \   \ \ 同様に$f(x,\ y,\ z)=-\,f(x,\ z,\ y),\ f(x,\ y,\ z)=-\,f(z,\ y,\ x)$より,\ 交代式. \\\\\\
交代式の重要性質と対称式との関係対称式・交代式の積}}$ \交代式は2乗すると対称式}}となる.$ \\[.2zh] 特に,\ 基本対称式のみで表す次の変形は頻出である. \\[.5zh] $\bm{\zettaiti{x-y}=\sqrt{(x-y)^2}=\sqrt{x^2-2xy+y^2}=\textcolor{red}{\sqrt{(x+y)^2-4xy}}}$ \\\\[.5zh] $\maru3\ \ \bm{\textcolor{cyan}{2変数交代式}}は,\ \bm{\textcolor{red}{必ず差(x-y)を因数にもち,\ 残りの因数は対称式となる.{3変数交代式}}は,\ \bm{\textcolor{red}{差積(x-y)(y-z)(z-x)を因数にもち,\ 残りは対称式.}}$ \\[.5zh] \ \ f(x,\ y)=f(y,\ x)となる対称式は正,\ f(x,\ y)=-\,f(y,\ x)となる交代式は負の扱いと考える. \\[2zh] \maru2\ \ \maru1より(交代式)\times(交代式)=(対称式)であるから,\ (交代式)^2=(対称式)である. \\[.2zh] \ \ つまり,\ \bm{交代式は2乗すると基本対称式のみで表せる.} \\[.2zh] \ \ ある種の問題では,\ 多少複雑になってでも基本対称式で表すことが重要なのである. \\[2zh] \maru3\ \ この性質は「3変数交代式の因数分解」のページでも説明したが,\ ここで再び説明しておく. \\[.2zh] \ \ 先に因数定理(数\text{I\hspace{-.1em}I})について簡単に説明する. \\[.2zh] \ \ 方程式\,x^2-3x+2=0を解くとする.\ (x-1)(x-2)=0\,より,\ x=1,\ 2である. \\[.2zh] \ \ これを逆に考えると,\ x=1を解にもつならば,\ 元の式は因数(x-1)をもつといえる. \\[.2zh] \ \ つまり,\ \bm{=0とした方程式の解を見つけられれば,\ そこから元の式の因数もわかる}のである. \\[1zh] \ \ まず,\ 2変数交代式f(x,\ y)について,\ f(x,\ y)=-\,f(y,\ x)が成立している. \\[.2zh] \ \ ここでx=yとすると,\ f(y,\ y)=-\,f(y,\ y)\ \Longleftrightarrow\ 2f(y,\ y)=0\ \Longleftrightarrow\ f(y,\ y)=0\,となる. \\[.2zh] \ \ つまり,\ 2変数交代式\,f(x,\ y)\,にx=yを代入すると必ず0になる. \\[.2zh] \ \ これは,\ f(x,\ y)=0が常にx=yを解にもつことを意味する. \\[.2zh] \ \ ゆえに,\ 因数定理より,\ f(x,\ y)が常に(x-y)を因数にもつといえる. \\[.2zh] \ \ ここで,\ 残りの因数をg(x,\ y)とすると,\ f(x,\ y)=(x-y)g(x,\ y)と表される. \\[.2zh] \ \ x-yは交代式で,\ \maru1より(対称式)\times(交代式)=(交代式)なので,\ g(x,\ y)は対称式である. \\[.2zh] \ \ 2変数交代式は,\ 差(x-y)をくくり出してしまえば,\ 対称式の問題に帰着する. \\[.2zh] \ \ \maru2のように2乗して対称式に帰着させることもできるが,\ より面倒になるのは明らかである. \\[2zh] \maru4\ \ 3変数交代式f(x,\ y,\ z)について,\ f(x,\ y,\ z)=-\,f(y,\ x,\ z)が成立している. \\[.2zh] \ \ x=yとすると f(y,\ y,\ z)=-\,f(y,\ y,\ z)\ \Longleftrightarrow\ 2f(y,\ y,\ z)=0\ \Longleftrightarrow\ f(y,\ y,\ z)=0 \\[.2zh] \ \ つまり,\ 3変数交代式\,f(x,\ y,\ z)\,にx=yを代入すると必ず0になる. \\[.2zh] \ \ これは,\ f(x,\ y,\ z)=0が常にx=yを解にもつことを意味する. \\[.2zh] \ \ ゆえに,\ 因数定理より,\ f(x,\ y,\ z)が常に(x-y)を因数にもつといえる. \\[.2zh] \ \ y=z,\ z=xとしても同様であるから,\ 常に(y-z)と(z-x)も因数にもつ. \\[.2zh] \ \ (x-y)(y-z)(z-x)は交代式であるから,\ 残りの因数は対称式である. \\[.2zh] \ \ 3変数交代式は,\ 差積(x-y)(y-z)(z-x)をくくり出してしまえば,\ 対称式の問題に帰着する.