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x^2-5x+1=0\ (0<x<1)のとき,\ 次の式の値を求めよ.$ $の対称式・交代式の値}}}} \\\\[.5zh] \\ の対称式}}は,\ \textbf{基本対称式$}$}のみで表される. \\[.4zh] x^2-5x+1=0の両辺をxで割る}
2変数対称式・交代式の扱いは前ページで詳しく述べたので,\ ここでは代表的な解答のみ示した. \\[1zh] まず\,x+\bunsuu1x\,の値を求める.\ \underline{x\neqq0を断った上で}両辺をxで割るのが簡潔である. \\[.6zh] x^2-5x+1=0にx=0を代入すると1=0となるから,\ 仮に0<x<1がなくてもx\neqq0である. \\[.2zh] 気付けなければ解の公式を用いてx^2-5x+1=0を解く.\ 0<x<1のとき,\ x=\bunsuu{5-\ruizyoukon{21}}{2}\ である. \\[.6zh] は公式として覚えておくべきである. \\[1.5zh] (2)\ \ x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\ か\ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\
(3)\ \ 4乗は2乗の2乗と考え,\ x^2+\bunsuu{1}{x^2}=\left(x+\bunsuu1x\right)^2-2\ で\,x\,→\,x^2\,とする. \\[1.5zh] (4)\ \ 5乗は3乗と2乗を組み合わせた後,\ 余分な項を引く. \\[1zh] (5)\ \ 6乗は3乗の2乗と考えるのが基本である.\ x^2+\bunsuu{1}{x^2}=\left(x+\bunsuu1x\right)^2-2\ で\,x\,→\,x^3\,とする. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 2乗の3乗と考え,\ x^3+\bunsuu{1}{x^3}=\left(x+\bunsuu1x\right)^3-3\left(x+\bunsuu1x\right)で\,x\,→\,x^2\,としてもよい(別解1). \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 2乗の3乗と考え,\ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)で\,x\,→\,x^2,\ y\,→\,\bunsuu{1}{x^2}\,としてもよい(別解2). \\[1.5zh] (6)\ \ 交代式は2乗すると対称式となることを利用する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 2乗をはずすとき,\ 正か負か両方かを判断する必要がある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 0<x<1のとき\,\bunsuu1x>1\,で,\ x<1も考慮するとx-\bunsuu1x<0\,である. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ もし0<x<1という条件がなければ,\ \pm\ruizyoukon{21}\,が答えになる. \\[1zh] (7)\ \ xと\,\bunsuu1x\,の交代式なので,\ 因数分解すると必ずx-\bunsuu1x\,がくくり出せる. \\[1.5zh] (8)\ \ 公式\,x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\,を用いて因数分解する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ x^3-y^3=(x-y)^3+3xy(x-y)\ で\,y\,→\,\bunsuu1x\,としてもよい(別解). \\[1.5zh] (10)\ \ 少し変形するとxと\,\bunsuu1x\,の交代式である.\ \bunsuu{x^{10}}{x^5}=x^2\ というミスが多いので注意する. \\[.8zh] \phantom{(11)}\ \ 累乗の意味は掛け合わせた個数である.\ \ \bunsuu{x\,10個}{x\,5個}\,なのでx\;5個分が約分でき,\ x^5\,となる. \\[.8zh] \phantom{(11)}\ \ 2乗と3乗を組み合わせて余分な項を引けばよいが,\ どちらを負にするかで2通りある. \\[1zh] (11)\ \ ○\neqq0のとき常に\ \ruizyoukon{○}>0\,であるから,\ \ruizyoukon x+\bunsuu{1}{\ruizyoukon x}>0\ である.