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まず$[1]$を考え,\ 無理なら$[2]$を考える.\ どちらも無理なら因数分解できない. \\[1zh] $[1]$\ \ $\bm{\textcolor{cyan}{x^2\,の2次式}}とみなし,\ \bm{\textcolor{Purple}{たすき掛け}}をする.$ \\[1zh] $[2]$\ \ $\bm{\textcolor{red}{(x^2\pm○)^2-(□x)^2}}\ に強引に変形し,\ \bm{\textcolor{red}{A^2-B^2=(A+B)(A-B)}}\ を適用する.$
(1)\ \ x^2=Aとおくと\,4A^2-13A+3\,となり,\ たすき掛けで因数分解できる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 4x^2-1はさらに因数分解できることを見落としてはならない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 特に断りがない場合,\ 因数分解は\bm{有理数の範囲}で行う. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ x^2-3=(x+\ruizyoukon3\,)(x-\ruizyoukon3\,)\ とする必要はない. \\[1zh] (2)\ \ たすき掛けできないので,\ [2]の方法で因数分解することになる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ まず,\ 4乗の項x^4と定数項1に着目し,\ これが出てくるような2乗の形を無理矢理作る. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ (x^2+1)^2\ とする.\ ただし,\ 余分な項2x^2\,も出てくるのでこれを引く. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 元の-14x^2\,も加えると\,(x^2+1)^2-16x^2\ となり,\ A^2-B^2\ の型に帰着する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 実質同じだが,\ 次のようにx^2の項をうまく分ける方針で変形するのもよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ x^4-14x^2+1=(x^4+2x^2+1)-16x^2=(x^2+1)^2-(4x)^2 \\[1zh] (3)\ \ とりあえず(2)と同様に変形してみる.\ まず,\ x^4+4y^4=(x^2+2y^2)^2-4x^2y^2である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ x^4-13x^2y^2+4y^4=(x^2+2y^2)-4x^2y^2-13x^2y^2=(x^2+2y^2)^2-17x^2y^2\ となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ところが,\ 17は整数の2乗ではないので,\ これでは有理数の範囲で因数分解できない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ この場合,\ x^2+a^2=(x^2+a)^2-2ax^2\,ではなくx^2+a^2=(x^2-a)^2+2ax^2\,と変形する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 本問では(x^2-2y^2)^2-9x^2y^2\,となるから,\ 因数分解できる.