ヤングの干渉実験（応用）
波長λの単色光を細いスリットS₀に入射させ、S₀を通った光を、間隔dで平行に並んだ2つの細いスリットS₁、S₂に入射させる。S₁、S₂の中点をCとし、S₁はS₂より上側にある。S₀はCからスクリーンと反対方向に距離a、上方に距離hだけ離れた位置にある。
また、S₁、S₂から距離Lだけ離れた位置にスクリーンを置き、Cの正面をOとする。スクリーン上ではOを原点として上向きを正とする座標xをとる。
ただし、a、L ≫ d、h、|x|とする。|u| ≪ 1のとき、
(1+u)^α ≈ 1+αu
を用いてよい。
(1) スクリーン上の座標xの点Pについて、三平方の定理を用いてS₁P、S₂Pをd、L、xを用いて表せ。さらに、
S₂P−S₁P ≈ dx/L
となることを示せ。
(2) (1)と同様の近似により、
S₀S₂−S₀S₁ ≈ dh/a
となることを示せ。
(3) S₀→S₂→Pの経路長からS₀→S₁→Pの経路長を引いた量をδとする。
δをa、d、h、L、xを用いて表せ。
また、Pが明線となる条件を整数mを用いて表し、m番目の明線の位置xₘを求めよ。
(4) S₀がCの正面にある場合（h=0）と比較して、干渉縞全体がどちら向きにどれだけ移動するか。また、隣り合う明線の間隔Δxを求め、hによらないことを示せ。
(5) 次に、S₀とS₁の間の光路上に、屈折率n、厚さlの透明物質を光線に垂直に置いた。
透明物質がない場合には同じ厚さlの部分を空気中で進むものとし、空気の屈折率を1とする。透明物質を置くことにより、S₁を通る光の光学距離がどれだけ増加するかを求めよ。
(6) S₀が上方hにある状態で、さらにS₀とS₁の間に(5)の透明物質を置いたとする。
このときの光路差δₙをa、d、h、L、x、n、lを用いて表し、明線条件を整数mを用いて表せ。さらに、m番目の明線の位置xₘ’を求めよ。
また、S₀をhの位置においた状態で、物質を置く前と比べて干渉縞全体がどちら向きにどれだけ移動するか。
(7) S₀を上方にずらしたことによる干渉縞の移動と、透明物質を置いたことによる移動が打ち消し合い、m=0の明線がOに現れるための条件をa、d、h、n、lを用いて表せ。
【解答】
(1)
S₁P = √{L²+(x−d/2)²}
= L√{1+(x−d/2)²/L²}
≈ L{1+(x−d/2)²/(2L²)}
S₂P = √{L²+(x+d/2)²}
= L√{1+(x+d/2)²/L²}
≈ L{1+(x+d/2)²/(2L²)}
よって、
S₂P−S₁P
≈ {(x+d/2)²−(x−d/2)²}/(2L)
= dx/L
前項では、光路差を
d sinθ ≈ d tanθ = dx/L
として求める簡潔な方法を扱った。
本項では、三平方の定理と近似公式を利用するやや面倒な方法で求める。いずれも頻出である。
近似公式
(1+u)^α ≈ 1+αu （|u| ≪ 1）
でα=1/2とすると、
√(1+u) ≈ 1+u/2
である。
Lを根号の外に出すと、L ≫ d、|x|より、
(x±d/2)²/L² ≪ 1
であり、近似公式を適用できる。
(2)
S₀S₁ = √{a²+(h−d/2)²}
= a√{1+(h−d/2)²/a²}
≈ a{1+(h−d/2)²/(2a²)}
S₀S₂ = √{a²+(h+d/2)²}
= a√{1+(h+d/2)²/a²}
≈ a{1+(h+d/2)²/(2a²)}
よって、
S₀S₂−S₀S₁
≈ {(h+d/2)²−(h−d/2)²}/(2a)
= dh/a
一応計算過程を示したが、(1)のxをh、Lをaに置換しただけなので、同様の計算を繰り返す必要はない。
前項で扱った簡便法による導出も示しておく。
(1) S₂P−S₁P ≈ d sinθ ≈ d tanθ = dx/L
(2) S₀S₂−S₀S₁ ≈ d sinφ ≈ d tanφ = dh/a
(3)
光路差
δ = (S₀S₂+S₂P)−(S₀S₁+S₁P)
≈ dh/a+dx/L
明線条件
dh/a+dx/L = mλ
（m=0、±1、±2、…）
m番目の明線の位置
xₘ = mλL/d−hL/a
(4)
h=0のときのm番目の明線の位置は、
xₘ = mλL/d
である。
(3)より、S₀を上方にhだけずらすと、干渉縞全体は下方へ
hL/a
だけ移動する。
隣り合う明線の間隔は、
Δx
= xₘ₊₁−xₘ
= {(m+1)λL/d−hL/a}−{mλL/d−hL/a}
= λL/d
よって、干渉縞の間隔はS₀のずれhによらない。
(5)
厚さlの空気中を進むときの光学距離はl、厚さl、屈折率nの物質中を進むときの光学距離はnlである。
したがって、光学距離の増加量は、
nl−l = (n−1)l
(6)
S₀→S₁→P側のみ光学距離が(n−1)lだけ増加するから、
光路差
δₙ ≈ dh/a+dx/L−(n−1)l
明線条件
dh/a+dx/L−(n−1)l = mλ
m番目の明線の位置
xₘ’ = mλL/d−hL/a+(n−1)lL/d
透明物質を置く前と比べて、干渉縞全体はS₁側（上方）へ
(n−1)lL/d
だけ移動する。
(7)
m=0の明線がOに現れる、すなわちx=0となるための条件を求める。
(6)のxₘ’の式より、
0 = −hL/a+(n−1)lL/d
よって、求める条件は、
h/a = (n−1)l/d
【干渉縞の移動方向の図形的考察】
条件変更時に干渉縞が上下どちらに移動するかは計算で求まるが、図形的に判断できることも重要である。
通常のヤングの干渉実験では、S₀は直線CO上にあり、
S₀S₁ = S₀S₂
である。
m=0の明線は、S₀→S₁→PとS₀→S₂→Pの光路差が0となる位置にできる。
S₀を上方にhだけ移動すると、
S₀S₁ < S₀S₂
となる。
2つの経路長を等しくするには、
S₁P > S₂P
でなければならないため、m=0の明線は下方に移動する。
次に、S₀とS₁の間に透明物質を置くと、S₀→S₁→Pの経路の光学距離だけが(n−1)l増加する。
2つの経路の光学距離を再び等しくするにはS₂側の経路を長くする必要があり、S₀S₂が一定の場合、S₂Pが長くなる位置、すなわちm=0の明線は上方に移動する。
S₀をhだけ上方に移動した影響と透明物質を置いた影響が打ち消し合い、m=0の明線が元の位置に戻る条件が(7)である。
