光ファイバーは、絶対屈折率 n₁ のコアを、それより絶対屈折率の小さい n₂ のクラッドが取り囲んだ構造をしている（n₁ > n₂）。光がコアとクラッドの境界面で全反射を繰り返すことにより、光はコアの内部を伝わっていく。空気の絶対屈折率を 1 とする。
空気中から光ファイバーの端面に光を入射させる。光ファイバーの中心軸と入射光のなす角を θ、コアに入った光と中心軸のなす角を φ とする。
(1) 光がコアとクラッドの境界面で全反射するための条件を n₁、n₂、φ を用いて表せ。
(2) 光がコア内で全反射を繰り返しながら進むための入射角 θ の条件を示せ。
(3) 光ファイバーの長さを L、真空中の光速を c とする。
入射角が θ の光が他端に到達するまでの時間 T を求め、L、θ、c、n₁ を用いて表せ。
(4) 入射角 θ が十分小さく、sin²θ ≪ n₁² であるとする。
(1+h)ⁿ ≒ 1+nh（|h| ≪ 1）を用いて、入射角 0 の光と入射角 θ の光が他端に到達するまでの時間の差 ΔT を近似的に求め、L、θ、c、n₁ を用いて表せ。
光ファイバーの原理
(1) コアとクラッドの境界面における入射角を i、全反射の臨界角を i₀ とする。
屈折の法則
n₁ sin i₀ = n₂ sin 90°
より
sin i₀ = n₂/n₁
全反射するための条件は i > i₀ であるから
sin i > sin i₀ = n₂/n₁
下図より
sin i = sin(90°−φ) = cosφ （余角の公式）
であるから
cosφ > n₂/n₁
(2) 空気からコアへの屈折の法則より
1・sinθ = n₁ sinφ
sinφ = sinθ/n₁ より
cosφ
= √(1−sin²φ)
= √(1−sin²θ/n₁²)
= √(n₁²−sin²θ)/n₁
(1)より
cosφ = √(n₁²−sin²θ)/n₁ > n₂/n₁
したがって
0 ≤ sinθ < √(n₁²−n₂²)
［
(1)の条件を θ の条件に変換すればよい。空気からコアへの屈折の法則により、θ と φ が結びつく。
θ は光線と中心軸のなす角であり 0 ≤ θ < 90° であるから、0 ≤ sinθ である。
］
(3) コア中の光速を v₁ とすると、絶対屈折率の定義
n₁ = c/v₁
より
v₁ = c/n₁
全反射の前後で、コア中の光速の中心軸方向の成分は常に
v₁ cosφ
よって
T = L/(v₁ cosφ)
= n₁L/(c cosφ)
また、(2)より
cosφ = √(n₁²−sin²θ)/n₁
したがって
T
= n₁L/[c・{√(n₁²−sin²θ)/n₁}]
= n₁²L/[c√(n₁²−sin²θ)]
(4) 入射角 0 の光が他端に到達するまでの時間は
T₀
= L/v₁
= L/(c/n₁)
= n₁L/c
ここで
1/√(n₁²−sin²θ)
= 1/[n₁√(1−sin²θ/n₁²)]
= (1/n₁)(1−sin²θ/n₁²)^(−1/2)
≒ (1/n₁)(1 + (1/2)sin²θ/n₁²)
より
T
= n₁²L/[c√(n₁²−sin²θ)]
≒ (n₁²L/c)(1/n₁)(1 + (1/2)sin²θ/n₁²)
= (n₁L/c)(1 + (1/2)sin²θ/n₁²)
よって
ΔT
= T−T₀
≒ (n₁L/c)(1 + (1/2)sin²θ/n₁²) − n₁L/c
= L sin²θ/(2cn₁)
［
高校物理では、近似公式 (1+h)ⁿ ≒ 1+nh（|h| ≪ 1）を用いた根号を含む式の近似が頻出である。
√(1+h) = (1+h)^(1/2) ≒ 1 + h/2
1/√(1+h) = (1+h)^(−1/2) ≒ 1 − h/2
|h| ≪ 1 のとき |−h| ≪ 1 より
√(1−h)
= √{1+(−h)}
= {1+(−h)}^(1/2)
≒ 1 + (−h)/2
= 1 − h/2
1/√(1−h)
= 1/√{1+(−h)}
= {1+(−h)}^(−1/2)
≒ 1 + (−1/2)(−h)
= 1 + h/2
近似公式を適用するには、まず 1±h（|h| ≪ 1）の形を作る必要がある。
√(n₁²−sin²θ)
= n₁√(1−sin²θ/n₁²)
と変形すると、sin²θ ≪ n₁² より、
sin²θ/n₁² ≪ 1
である。
光の入射角によって他端への到達時間が異なると、光ファイバー通信において光パルスが時間的に広がり、隣接する信号パルスが重なってしまうため、通信速度を制限する原因の1つとなる。
