水平に置いた平らなガラス板の上に、曲率半径 R の平凸レンズを凸面を下にして置く。
レンズの凸面とガラス板は中心 O で接しており、その間には薄い空気層ができている。
レンズおよびガラス板の屈折率は空気の屈折率 1 より大きいものとする。
上方から波長 λ の単色光をほぼ垂直に入射させ、空気層の上面と下面で反射した2つの光の干渉を上方から観察すると、Oを中心とする同心円状の明環と暗環が観察された。
中心 O から距離 r の位置における空気層の厚さを d とする。
(1)
レンズの凸面の曲率中心を C とする。d≪R のとき、
d≈r²/(2R)
となることを示せ。
また、空気層の上面および下面で反射する2つの光について、反射光が強め合う条件と弱め合う条件を r、R、λ、および0以上の整数 m を用いて表せ。
さらに、中心 O が明るく見えるか暗く見えるか答えよ。
(2)
中心 O を m=0 次とし、m 次の暗環の半径を r_m、m 次の明環の半径を r’_m とする。
r_m、r’m を m、λ、R を用いて表せ。
さらに、r(m+1)²－r_m² を求め、外側へ行くほど隣り合う暗環の間隔が狭くなることを説明せよ。
(3)
m 次と m+p 次の暗環の直径をそれぞれ D_m、D_(m+p) とする。
D_(m+p)²－D_m² を p、λ、R を用いて表せ。
波長 600 nm の単色光を用いて観察したところ、5次と15次の暗環の直径はそれぞれ 4.24 mm、7.35 mm であった。
レンズの凸面の曲率半径 R [m] を求めよ。
(4)
平凸レンズとガラス板の間を屈折率 n の透明な液体で満たした。
ただし、液体の屈折率 n はレンズおよびガラス板の屈折率より小さいものとする。
m 次の暗環の半径 r_m を m、λ、R、n を用いて表せ。
また、空気層の場合と比較して、各暗環の半径は何倍になるか。
(5)
上方から単色光を入射させ、レンズとガラス板を透過した光を下側から観察する。
透過光が強め合う条件と弱め合う条件を r、R、λ、および0以上の整数 m を用いて表せ。
また、中心 O は明るく見えるか暗く見えるか答えよ。
(6)
上側から反射光を観察するものとする。
レンズをガラス板と平行な状態を保ったまま、鉛直上方へ距離 h だけ持ち上げた。
持ち上げる前の接触点 O を r=0 とする。
m 次の暗環の半径 r_m を λ、R、h、m を用いて表せ。
ただし、実際に暗環が存在する m のみを考える。
また、レンズを徐々に持ち上げたとき、各暗環はどう移動するか。
さらに、r_(m+1)²－r_m² は持ち上げる前と比べてどのように変化するか。
【解答】
(1)
直角三角形 CHQ において、三平方の定理より
r²＋(R－d)²＝R²
よって、
r²＝2Rd－d²
d≪R より d²≪2Rd であるから、
r²≈2Rd
よって、
d≈r²/(2R)
となる。
空気層下面で反射する光は、空気層の往復分だけ余分に進むため、経路差は
2d≈r²/R
となる。
上面では、レンズからより屈折率の小さい空気へ向かって反射するため位相は変化しない。
下面では、空気からより屈折率の大きいガラスへ向かって反射するため位相が π ずれる。
強め合う条件
r²/R＝(m＋1/2)λ
（m＝0、1、2、…）
弱め合う条件
r²/R＝mλ
（m＝0、1、2、…）
中心 O では r=0 であり、弱め合う条件を m=0 で満たすから、暗く見える。
曲率中心 C と反射点 Q からなる直角三角形 CHQ に三平方の定理を用い、d²を無視すると覚えておくとよい。
入試では、近似公式
(1＋x)^n≈1＋nx （|x|≪1）
を用いる形で誘導されることがある。
r²＋(R－d)²＝R² より、
r²＋R²(1－d/R)²＝R²
d≪R より d/R≪1 であるから、
(1－d/R)²≈1－2d/R
よって、
r²＋R²(1－2d/R)≈R²
したがって、
r²≈2Rd
(2)
m 次の暗環では、
r_m²/R＝mλ
であるから、
m 次の暗環の半径
r_m＝√(mλR)
m 次の明環では、
(r’_m)²/R＝(m＋1/2)λ
であるから、
m 次の明環の半径
r’_m＝√{(m＋1/2)λR}
また、
r_(m+1)²－r_m²
＝(m＋1)λR－mλR
＝λR
一方、隣り合う暗環の間隔は、
r_(m+1)－r_m
＝{r_(m+1)²－r_m²}/{r_(m+1)＋r_m}
＝λR/{r_(m+1)＋r_m}
外側ほど r_m が大きくなり、分母 r_(m+1)＋r_m が大きくなるから、外側へ行くほど隣り合う暗環の間隔は狭くなる。
くさび形空気層による干渉では、明線・暗線の間隔は
Δx＝λl/(2D)≈λ/(2θ)
で、mによらず一定であった。
一方、ニュートンリングでは、隣り合う明環・暗環の間隔は m に依存する。
半径の式には根号があるため、m が増加するにつれて間隔が広くなるか狭くなるかは一見わかりづらい。
ただし、半径の2乗の差は m によらず一定であり、これを利用すると間隔の変化をとらえやすい。
半径の2乗の差を利用せずに直接確かめると、
r_(m+1)－r_m
＝√{(m＋1)λR}－√(mλR)
＝(√(m＋1)－√m)√(λR)
ここで、
√(m＋1)－√m
＝1/{√(m＋1)＋√m}
であるから、
r_(m+1)－r_m
＝√(λR)/{√(m＋1)＋√m}
となる。
したがって、m が増えるにつれて隣り合う暗環の間隔は小さくなる。
(3)
m 次の暗環の直径は、
D_m＝2r_m＝2√(mλR)
よって、
D_(m+p)²－D_m²
＝4(m＋p)λR－4mλR
＝4pλR
m=5、p=10、λ=600×10⁻⁶ mm を代入すると、
R
＝{D_(m+p)²－D_m²}/(4pλ)
＝(7.35²－4.24²)/(4×10×600×10⁻⁶)
＝1502 mm
≈1.50 m
(4)
液体の屈折率 n はレンズとガラス板の屈折率より小さいから、空気層の場合と同様に、下面で反射する光のみ反射によって位相が π ずれる。
屈折率 n の液体中では光の波長が λ/n となる。
よって、
r_m＝√(mλR/n)
暗環の半径は、空気層の場合の
1/√n 倍
になる。
(5)
透過光のうち、一方は空気層をそのまま透過し、他方は空気層内で2回の反射後に透過する。
後者は前者より空気層を往復する分だけ余分に進むから、2つの光の経路差は 2d となる。
後者は空気層の下面と上面で、空気からより屈折率の大きいガラスへ向かって2回反射するため、反射のたびに位相が π ずれ、合計の位相変化は 2π となる。
よって、反射による相対的な位相差は生じない。
強め合う条件
r²/R＝mλ
（m＝0、1、2、…）
弱め合う条件
r²/R＝(m＋1/2)λ
（m＝0、1、2、…）
中心 O では r=0 であり、強め合う条件を m=0 で満たすから、明るく見える。
(6)
中心から距離 r の位置における空気層の厚さは、
d≈h＋r²/(2R)
暗環の条件
2d＝mλ
より、
2{h＋r_m²/(2R)}＝mλ
したがって、m 次の暗環の半径は、
r_m＝√{R(mλ－2h)}
（mλ≧2h）
h を大きくするほど r_m は小さくなり、mλ＝2h のとき r_m＝0 となる。
よって、各暗環は中心 O に向かって移動し、
h＝mλ/2
で中心 O に達して消える。
また、
r_(m+1)²－r_m²
＝R{(m＋1)λ－2h}－R(mλ－2h)
＝Rλ
持ち上げる前の
r_(m+1)²－r_m²＝λR
と同じであるから、隣り合う暗環の半径の2乗の差は変化しない。
d≈h＋r²/(2R) を三平方の定理から直接求める場合、(1)の d を d－h に置き換えて考えればよい。
直角三角形 CHQ において、
r²＋{R－(d－h)}²＝R²
よって、
r²＝2R(d－h)－(d－h)²
d－h≪R より、
(d－h)²≪2R(d－h)
であるから、
r²≈2R(d－h)
したがって、
d≈h＋r²/(2R)
