光の干渉の問題には, 5つの代表的なパターンがあるが, その本質は共通している.
まず, 波動分野の序盤で学習した, 波一般の干渉について復習する.
同じ振動状態で出た2つの波がある点Pで重なるとき, 各波が進んだ距離の差を経路差という.
このとき, 2つの波の経路差が波長の整数倍か半整数倍かで, 強め合うか弱め合うかが決まる.
経路差=
mλ=2m·λ/2 … 強め合う(明)
(m+1/2)λ=(2m+1)λ/2 … 弱め合う(暗)
(m=0, 1, …)
光の場合も考え方は同じだが, 光は媒質によって速さや波長が変化することに注意が要る.
そもそも, 経路差が波長の何倍かで干渉後の強弱を判定できるのは,
2つの経路で波長が同じであることが前提である. ……(A)
波の干渉の本質は, 距離の差ではなく, 2つの波が重なるときの位相の差を考えることにある.
異なる媒質中を進む場合は波長が異なるため, 単純な経路差では位相のずれを正しく表せない.
そこで, 屈折率nの媒質中を実際の距離lだけ進んだときのnlを光学距離(光路長)という.
これは, 光が屈折率nの媒質中を進む間の位相変化を, 真空中を進む距離に換算したものである.
異なる経路を通る2つの光が干渉するとき, 2つの光学距離(光路長)の差である光路差を考える.
【補足】
(A) 2人の歩行距離の差から「何歩分ずれたか」を求めるには, 2人が同じ歩幅でなければならない.
光は波長が歩幅に相当するため,2つの経路で波長が異なると,経路差では位相のずれを判断できない.
真空中での光の速さをc, 波長をλとすると, 屈折率nの媒質中では光の速さはc/nである.
光が媒質に入っても振動数fは変化しないので, v=fλより, 媒質中での波長はλ/nとなる.
よって (屈折率nの媒質中を距離l進む間に含まれる波の個数)=(距離)/(波長)=(l)/(λ/n)=nl/λ
この波の個数は, 波長λの光が真空中を距離nlだけ進んだ場合と同じであるから,
屈折率nの媒質中を距離l進むことは, 位相変化で見れば真空中を距離nl進むことに相当する.
【補足終わり】
異なる経路を通った2つの光がある点Pで干渉するとする. 以下, λを真空中の波長とする.
光路差=
mλ=2m·λ/2 … 強め合う(明)
(m+1/2)λ=(2m+1)λ/2 … 弱め合う(暗)
(m=0, 1, …)
ただし, 2つの光のうち一方のみが反射によって位相がπずれる場合, 明暗が入れ替わる.
光の干渉問題で重要なのは, 図中のどの部分が光路差に対応し, それを数式でどう表すかである.
5パターンの違いは光路差の表現にあり, その後に明暗の条件を適用する流れは大筋で共通する.
先に結論だけをまとめると, 以下のようになる(問題の設定によっては式が変わりうる).
① ヤングの干渉実験
光路差 ≈dx/L
② 回折格子
光路差 =d sinθ
③ 薄膜の干渉
光路差 =2ndcos r
④ くさび形空気層による干渉
光路差 =2d
⑤ ニュートンリング
光路差 =2d≈r^2/R
本項では, ① ヤングの干渉実験の問題を取り扱う.
波長λの単色光を細いスリット S_0に入射させ, S_0を通った光を, 間隔dで平行に並んだ
2つの細いスリット S_1, S_2に入射させる. S_0は S_1, S_2の中央の正面にあり,
S_0S_1=S_0S_2である. S_1, S_2から距離Lだけ離れた位置にスクリーンを置き,
2つのスリットの中央の正面をOとする. 実験装置全体は屈折率1の空気中にあるとする.
スクリーン上の点PはOから距離xの位置にあり, 2つのスリットの中央からPへ
向かう方向がスリットの正面方向となす角をθとする. ただし, L≫d, L≫xとする.
(1) θが十分小さく, sinθ≈tanθと近似できるとき, S_1, S_2からPまでの光路差
|S_1P-S_2P|を求めよ.
(2) 点Pが明線となる条件を整数mを用いて表せ.
また, Oをm=0とするとき, m番目の明線の位置x_mをd, L, λ, mを用いて表し,
隣り合う明線の間隔Δxをd, L, λを用いて表せ.
(3) 点Pが暗線となる条件を整数mを用いて表せ.
(4) 単色光の代わりに白色光を入射させたとき, どのような干渉縞になるかを理由と
ともに答えよ.
(5) 再び波長λの単色光を用い, スリットとスクリーンの間を屈折率nの透明な物質で
一様に満たした. λは真空中の波長とする. このとき, 隣り合う明線の間隔Δx’を
d, L, λ, nを用いて表せ. また, 空気中の場合と比べて干渉縞がどう変化するか.
(6) ヤングの実験では, 2つのスリットを独立した2つの光源で照らすのではなく,
1つの光源からの光を2つのスリットに入射させる理由を説明せよ.
ヤングの干渉実験(基本)
ヤングの実験の説明では, よく問題で示したような図が用いられる. この図を見た初学者は,
「光源から出た光がスリットで“屈折”して進行方向を変え, スクリーン上の点Pに届く」と
誤解しやすいが, 実際にスリットで起こるのは, 屈折ではなく回折である.
回折とは, 波が細い隙間などを通過したとき, その背後へ広がって伝わる現象であった.
ヤングの干渉実験では, S_0を通過した光が回折して広がり, S_1, S_2に達する.
さらに, S_1, S_2を通過した光もそれぞれ回折して広がり, 2つの波が重なり合って干渉する.
2つのスリットから同位相で出た波は, 断面で見れば2つの円形波として広がり,
その干渉によって強め合う場所と弱め合う場所ができる.
このとき, 腹線・節線は双曲線状に並び, これをスクリーン上で観測すると,
強め合う位置が明線, 弱め合う位置が暗線となって, 明暗が交互に並んだ干渉縞として見える.
S_1P, S_2Pなどの直線は, 光がスリットでその方向へ曲げられた軌跡を表しているわけではなく,
様々な方向へ広がる波のうち, 点Pに到達する波の進行方向だけを代表して描いたものである.
ヤングの干渉実験の本質は, 波動の序盤で学習した円形波の干渉そのものなのである.
波の広がりや波面まで含めて描けば, 実際の様子は下図のようになる.
(1) L≫dより, Pに向かう2本の光線はほぼ平行とみなせる.
L≫xより, θは十分小さい.
2つの光の光路差は
|S_1P-S_2P|≈d sinθ≈d tanθ=dx/L
【補足】
ヤングの干渉実験の光路差dx/Lには, 代表的な2つの求め方があり,
本問ではそのうち簡潔な方を扱った.
Pに向かう2本の光線を平行とみなすと, S_1PとS_2Pの差は, 図形的には以下のように求められる.
S_1から直線 S_2Pに下ろした垂線の足を Hとすると, 光路差はS_2Hと近似できる.
このとき, ∠S_2S_1H=θであるから S_2H=d sinθ
さらに, θが十分小さいときsinθ≈tanθであり, tanθ=x/Lより, 光路差が求まる.
教科書などの図は各距離を誇張した模式図であり, 実際のスケール感を数値で把握しておく必要がある.
現実的には, スリット間隔d=0.50 mm, スクリーンまでの距離L=2.0 mくらいのスケール感である.
可視光の波長は4～8×10^-7 m程度であり, 光路差がその半波長程度変化するだけで明暗が逆転する.
2つの光の位相差によって強め合い・弱め合いが生じ, 光の強度が場所によって異なるため,
スクリーン上には明暗が交互に並ぶ干渉縞として観測される.
【補足終わり】
(2) 明線条件 dx/L=mλ (m=0, 1, 2, …)
Oからm番目の明線までの距離 x_m=mλL/d [(dx_m)/(L)=mλ]
隣り合う明線の間隔 Δx=x_(m+1)-x_m=(m+1)λL/d-mλL/d=λL/d
【補足】
明線の間隔は, m+1番目の明線の位置x_(m+1)とm番目の明線の位置x_mの差により求まる.
mは消えるから, 明線の間隔はmによらず常に一定である.
λL/dより, 明線の間隔は波長λと距離Lに比例し, スリット間隔dに反比例する.
(3)の暗線条件を用いて隣り合う暗線の間隔を求めても, 同じ結果(隣り合う明線の間隔と同じ)となる.
【補足終わり】
(3) 暗線条件 dx/L=(m+1/2)λ (m=0, 1, 2, …)
(4) Oでは光路差が0であり, 全ての波長の光が強め合うから,
白色の明線となる.
(2)のx_m=mλL/dより, 同じ次数m (m≠0)では
波長λが長い光ほど明線がOから遠くなる.
よって, Oの両側には色づいた干渉縞が現れ,
波長が短い紫色の明線ほどOに近く,
波長が長い赤色の明線ほどOから遠い位置に現れる.
(5) 屈折率nの媒質中における光の波長は λ/n
(2)のΔx=λL/dにおいて, λをλ/nに置き換えると
Δx’=(λ/n· L)/(d)=λL/(nd)=Δx/n 干渉縞の間隔は, 空気中の1/n倍となる.
(6) 独立した2つの光源では, 位相のそろっていない光が次々と入射し,
安定した干渉縞を観測できない.
1つの光源から来た光を2つのスリットに分けることで,
2つのスリットから出る光の位相差が一定に保たれ, 安定した干渉縞ができる.
