水平に置いた平らなガラス板の上にもう1枚の平らなガラス板を重ねて一端Aで接触させ、Aから水平方向に距離l離れた位置Bに薄い物体をはさむことで、2枚のガラス板の間にくさび形空気層を作る。
くさびの角をθとし、θは十分小さいものとする。空気層の屈折率を1とし、上方から波長λの単色光をほぼ垂直に入射させ、空気層の上面と下面で反射した2つの光の干渉を観察する。接触点Aから水平方向に距離xの位置における空気層の厚さをdとする。
(1) 空気層の上面および下面で反射する2つの光について、反射光が強め合う条件と弱め合う条件をd、λ、および0以上の整数mを用いて表せ。
また、接触点Aが明るく見えるか暗く見えるか答えよ。
(2) 位置Bにはさんだ物体の厚さをDとする。m次の暗線の位置x_mと隣り合う暗線の間隔Δxをl、D、λ、mを用いて表せ。
くさびの角θは十分小さく、以下では tanθ≈θ と近似してよいものとする。
(3) m次の暗線の位置x_mと暗線の間隔Δxをλ、θ、mを用いて表せ。
(4) l=10.0 cmであり、位置Bに未知の直径aの細線をはさんだ。
波長600 nmの単色光をほぼ垂直に入射させたところ、隣り合う暗線の間隔が1.25 mmであった。細線の直径a [mm]を求めよ。
また、接触点Aおよび端Bを含め、AからBまでに暗線は何本観察されるか。
(5) 白色光の可視光域における最短波長をλ_V、最長波長をλ_Rとする。
m次の明線について、紫色光（λ_V）から赤色光（λ_R）までが広がる幅ΔX_mをm、λ_V、λ_R、θを用いて表せ。
以上から、白色光を入射させたとき、接触点付近では色のついた干渉縞が観察される一方、接触点から遠くなると明瞭な色の縞が見えにくくなる理由を説明せよ。
(6) 2枚のガラス板の間を屈折率nの透明な液体で満たしたときの隣り合う暗線の間隔をλ、n、θを用いて表せ。
また、空気層の場合と比較して縞間隔が何倍になるか。
(7) 上方から単色光を入射させたまま、くさび形空気層を透過した光を下側から観察する。
透過光が強め合う条件と弱め合う条件をd、λ、および0以上の整数mを用いて表せ。
また、接触点Aは明るく見えるか暗く見えるか答えよ。
(8) 上側から反射光を観察するものとする。上側のガラス板の位置と傾きを固定したまま、下側の水平なガラス板を鉛直下方へ距離hだけ平行移動させる。
移動前の接触点Aの位置をx=0として、暗線条件を満たす次数mの暗線の位置x_mをλ、θ、h、mを用いて表せ。ただし、x_m≥0に現れる暗線のみを考える。
また、干渉縞全体と隣り合う暗線の間隔はどのように変化するか。
【解答】
(1)
空気層下面で反射する光は、空気層を往復する分だけ余分に進むため、経路差は2dとなる。
上面ではガラスからより屈折率の小さい空気へ向かって反射するため位相は変化せず、下面では空気からより屈折率の大きいガラスへ向かって反射するため位相がπずれる。
強め合う条件
2d=(m+1/2)λ （m=0, 1, 2, …）
弱め合う条件
2d=mλ （m=0, 1, 2, …）
接触点Aではd=0であり、弱め合う条件をm=0で満たすから、暗く見える。
空気層の下面で反射した方の光のみ位相がπずれるため、反射による位相変化がない場合と比べて強め合い・弱め合いの条件が逆になる。
d=0のとき、強め合う条件の式は0以上の整数mが何であっても成り立たない。
実際のスケール感は、例えばl=10 cmに対してD=0.020 mm程度と非常に薄い。
また、実際のガラス板は数mm程度の厚さがあるため、外面で反射した光との光路差は大きく、一般的な光源では可干渉距離を超えるので、その光との干渉は考えなくてよい。
(2)
m次の暗線の位置x_mにおける空気層の厚さをd_mとする。
直角三角形の相似より
x_m=l
よって
d_m=(D/l)x_m
暗線の条件（弱め合う条件）
2d_m=mλ
より
2(D/l)x_m=mλ
m次の暗線の位置
x_m=mλl/(2D) （m=0, 1, 2, …）
隣り合う暗線の間隔
Δx=x_{m+1}-x_m
=(m+1)λl/(2D)-mλl/(2D)
=λl/(2D)
【別解】
m次とm+1次の暗線の位置の差をΔx、その位置での空気層の厚さの差をΔdとする。
直角三角形の相似より
Δx:Δd=l
また、
2Δd=λ
より
Δx=lΔd/D
=λl/(2D)
Δxは、隣り合う暗線（明線）における空気層の厚さの差Δdに着目して求める方法も理解しておきたい。
m次とm+1次の暗線では、干渉する2光の経路差がmλ、(m+1)λなので、その差はλである。
くさび形空気層では、隣り合う暗線（明線）の経路差の差は
2d_{m+1}-2d_m=2Δd=λ
となる。
(3)
くさびの形より
tanθ=D/l
tanθ≈θより
θ≈D/l
つまり
l/D≈1/θ
(2)の結果に代入すると、
x_m=mλl/(2D)≈mλ/(2θ)
Δx=λl/(2D)≈λ/(2θ)
(4)
(2)の
Δx=λl/(2D)
において、細線の直径がD=aであるから、
a=λl/(2Δx)
=(600×10⁻⁶×100)/(2×1.25)
=0.0240 mm
単位はすべてmm。
AからBまでに含まれる暗線の間隔の個数は
l/Δx
=100/1.25
=80個
(1)より、接触点Aはm=0の暗線である。
(2)より、m次の暗線の位置は
x_m=mΔx
である。
m=80のとき、
x_80
=80Δx
=80×1.25
=100 mm
=l
つまり、端Bはm=80の暗線に一致する。
AからBまでにm=0, 1, 2, …, 80の暗線があるから、観察される暗線は81本。
lがΔxでちょうど割り切れ、暗線の間隔が80個になるので、暗線が81本あることはほぼ明らかである。
ここでは念のため、両端点A、Bが暗線になるかを確認した。
(5)
強め合う条件
2d=(m+1/2)λ
と
d=x tanθ≈xθ
より、波長λのm次の明線の位置は
x_m(λ)≈(m+1/2)λ/(2θ)
λ_R>λ_Vより、
ΔX_m
=x_m(λ_R)-x_m(λ_V)
≈(m+1/2)(λ_R-λ_V)/(2θ)
ΔX_mは、次数mが大きいほど大きくなる。
よって、接触点A付近では色の広がりが狭く、色のついた干渉縞が明瞭に見える。
接触点Aから遠くなるほど色の広がりが大きくなり、異なる次数の色が重なり合うため、明瞭な色の干渉縞が見えにくくなる。
m次の赤色光の明線がm+1次の紫色光の明線に達すると、隣り合う次数のスペクトルが重なり始める。
その条件は
x_m(λ_R)≥x_{m+1}(λ_V)
より、
(m+1/2)λ_R≥(m+3/2)λ_V
可視光では
λ_V=400 nm、λ_R=800 nm
より、
(m+1/2)×800≥(m+3/2)×400
したがって
m≥1/2
mは0以上の整数であるから、実際にはm≥1ですでに隣り合う次数のスペクトルが重なり始める。
(6)
屈折率nの液体中では光の波長がλ/nとなる。
よって、(3)の
Δx≈λ/(2θ)
において、λをλ/nに置き換えると、
Δx≈λ/(2nθ)
また、縞間隔は空気層の場合の1/n倍になる。
(7)
透過光のうち、一方は空気層をそのまま透過し、他方は空気層内で2回の反射後に透過する。
後者は前者より空気層を往復する分だけ余分に進むから、2つの光の経路差は2dとなる。
後者は、空気層の下面と上面で空気からより屈折率の大きいガラスへ向かって2回反射するため、反射のたびに位相がπずれ、合計の位相変化は2πとなる。
よって、反射による相対的な位相差は生じない。
強め合う条件
2d=mλ （m=0, 1, 2, …）
弱め合う条件
2d=(m+1/2)λ （m=0, 1, 2, …）
接触点Aではd=0であり、強め合う条件をm=0で満たすから、明るく見える。
(8)
位置xにおける空気層の厚さは
d=h+x tanθ≈h+xθ
となる。
弱め合う条件
2d=mλ
より、
2(h+x_mθ)≈mλ
よって、
x_m≈mλ/(2θ)-h/θ
ただし、
x_m≥0よりmλ≥2h。
(3)の暗線の位置
x_m≈mλ/(2θ)
と比べると、同じ次数の暗線はh/θだけxが小さくなる。
よって、ガラス板移動後の干渉縞全体はA側へh/θだけ移動する。
隣り合う暗線の間隔は、
Δx=x_{m+1}-x_m
≈{(m+1)λ/(2θ)-h/θ}-{mλ/(2θ)-h/θ}
=λ/(2θ)
(3)のΔxと同じであるから、ガラス板移動後も隣り合う暗線の間隔は変化しない。
