当項目は上級者向けです。
光は狭いスリットを通過すると, スリットの正面方向だけでなく周囲にも広がる(回折).
特に, スリットの幅が光の波長と同程度になると, スリット内の各点から出た光の光路差
による位相のずれが無視できなくなり, それらの光が互いに干渉することで特徴的な
明暗が生じる. このような単スリットによる回折について考える.
幅aの細長いスリットに, 波長λの単色光を垂直に入射させる. 入射光は平面波であり,
スリットの各点には同位相の光が入射するものとする. スリットから十分遠方に
スクリーンを置き, スリットの正面方向をθ=0とする.
スクリーン上の点Pへ向かう方向がスリットの正面方向となす角をθとする.
スリット上の各点からPへ向かう光は互いに平行であるとみなしてよい.
また, スリットの幅方向に沿って一様に光が放射されるものとし,
光の強度は光波の振幅の2乗に比例するものとする.
(1) スリットの一方の端Aと他方の端BからPに到達する光の光路差Δlをa, θを
用いて表せ. また, これら2つの光の位相差ΔΦをa, λ, θを用いて表せ.
(2) スリットを幅方向にn等分し, 各部分からPに到達する光の振幅が等しいとする.
隣り合う部分からPに到達する光の位相差をΔφとするとき,
Δφをスリット全体の両端における位相差ΔΦとnを用いて表せ.
(3) (2)でnを十分に大きくした場合を考える.
θ>0では, 隣り合う部分からPに到達する光の位相ベクトルは向きがΔφずつずれる.
nを十分大きくするとΔφは十分小さくなり, 位相ベクトルを順につないでできる
折れ線は, 中心角ΔΦの円弧とみなすことができる.
θ=0の方向における合成波の振幅をA₀とするとき, 点Pにおける合成波の振幅Aが
A=A₀|sinβ/β|の形で表されることを示せ. ただし, β=(π a sinθ)/(λ)とする.
(4) θ=0における光の強度をI₀とする. 点Pにおける光の強度IをI₀, βを用いて
表せ. また, lim_β→0sinβ/β=1であることを用いて, β=0ではI=I₀となることを
確認せよ. さらに, 暗線が生じる角度θの条件を, a, θ, λ, 0でない整数mを
用いて表せ.
(5) スリットから距離Lだけ離れた位置にスクリーンを置き, スリットの正面をOとする.
点PのOからの距離をxとする. θは十分小さく, sinθ≈tanθと近似できる.
Oからm番目の暗線までの距離xₘをa, λ, L, mを用いて表せ.
(6) 中央の明線は, その両側にある最初の暗線にはさまれた領域である.
中央の明線の幅Wをa, λ, Lを用いて表せ. また, (5)の近似が成り立つ範囲で,
スリット幅aを小さくすると中央の明線の幅がどのように変化するか答えよ.
(7) 横軸をβとして, –
,3π≤β≤3πの範囲における光の強度Iの変化を表すグラフの
概形を描け.
単スリット回折
I
(1) スリットの両端A, BからPに到達する光の光路差は Δl=a sinθ
光路差λが位相2πに対応するから λ:2π=Δl:ΔΦ
位相差は ΔΦ=2πΔl/λ=(2π)/(λ)a sinθ
(2) 隣り合う部分の間隔はa/nであるから,
隣り合う部分からPに到達する光の光路差はΔl/nとなる.
位相差は光路差に比例するから,
隣り合う部分からPに到達する光の位相差Δφは,
スリット全体の位相差ΔΦの1/nとなる.
よって Δφ=ΔΦ/n
(3) 位相ベクトルが描く円弧の半径をRとする.
θ=0では各部分からの光はすべて同位相なので, 位相ベクトルの長さの和はA₀である.
よって, 中心角ΔΦの円弧の長さがA₀となるから A₀=RΔΦ
合成波の振幅Aは円弧の両端を結ぶ弦の長さであるから A=2R
,|sinΔΦ/2|
(1)より ΔΦ/2=(π a sinθ)/(λ)=β であるから R=A₀/ΔΦ=A₀/(2β)
よって A=2·A₀/(2β)|sinβ|=A₀|sinβ/β|
I
[ θ=0の方向ではすべての位相ベクトルの向きが同じであるから, 位相ベクトルは一直線上に並ぶ.
よって, これらを順につないだ線分の長さがA₀
,である(左図).
θ>0のとき, 位相ベクトルの向きは
,Δφ
,ずつずれていくが, 分割数nを十分に大きくすると,
位相ベクトルを順につないでできる折れ線の長さは, 円の弧長と同じとみなすことができる(右図).
この円弧の半径をRとすると, 数IIの扇形の弧長公式
,ℓ=rθ
,より, A₀=RΔΦ
,が成り立つ.
一方, 合成波の振幅Aは, 最初の位相ベクトルの始点から最後の位相ベクトルの終点までを結ぶ
ベクトルの長さである.
△CP₀Pₙ
,は二等辺三角形であり, CM⊥ P₀Pₙ
,であるから, P₀CM=ΔΦ/2
,である.
よって, 直角三角形P₀CMにおいて sinΔΦ/2=P₀M/P₀C=(A/2)/R
,となり, A=2R
,|sinΔΦ/2|
,を得る.
Aは合成された位相ベクトルの長さであり負にはならないため, sinΔΦ/2
,には絶対値を付けている.
sinΔΦ/2<0
,となる場合, その符号は合成波の位相が
,π
,だけ反転していることを表すのであり,
振幅の大きさが負になることを意味しない.
後は, A₀=RΔΦ
,とA=2R
,|sinΔΦ/2|
,からRを消去すればよい. ] (4) 光の強度は光波の振幅の2乗に比例するから I=I₀
!(sinβ/β)^2
lim_β→0sinβ/β=1 (数III)より, β=0では I=I₀ (β=0は中央の明線)
暗線ではI=0であるから sinβ=0
β=0を除いて β=mπ (m=±
,1, ±
,2, ±
,3, …)
β=(π a sinθ)/(λ)より 暗線条件 a sinθ=mλ (m=±
,1, ±
,2, ±
,3, …)
[比例定数をkとすると, I₀=kA₀^2, I=kA^2
,より (I)/(I₀)=kA^2/(kA₀^2)=A^2/A₀^2=(sinβ/β)^2
2スリット干渉では, d sinθ=mλ
,は明線条件であった.
単スリット回折でa sinθ=mλ
,が暗線条件となる理由については最後に述べる. ] (5) m次の暗線条件は a sinθₘ=mλ (m=1, 2, 3, …)
θₘが十分小さいとき, sinθₘ≈tanθₘ=xₘ/Lであるから(参考：最初の図)
xₘ=mλL/a (m=1, 2, 3, …)
(6) 中央の明線の両端は最初の暗線であり, Oからそれぞれx_1=λL/aだけ離れている.
よって, 中央の明線の幅は W=2x_1=2λL/a
Wはaに反比例するから, スリット幅aを小さくするほど中央の明線の幅は広くなる.
(7) I=I₀
!(sinβ/β)^2より, Iは直線β=0に関して対称である.
また, β=0でI=I₀となって最大となり, β=±
,π, ±
,2π, ±
,3πでI=0となる.
よって, -
,π<β<πに最も明るく幅の広い中央の明線が現れ, その両側には
暗線をはさんで, 中央から離れるほど弱い明線が現れる.
I
[ β→-β
,としても, I=I₀
!((sin(-β))/(-β))^2=I₀
!((-sinβ)/(-β))^2=I₀
!(sinβ/β)^2
,となり, 式は変わらない.
よって, I(-β)=I(β)
,が成り立つから, Iのグラフは直線
,β=0
,に関して対称である.
なお, グラフの増減や極値を数式から厳密に調べるには, 数IIIの微分が必要になる. ] 単スリット回折でa sinθ=mλが暗線条件となる理由
2スリットでは2本の光だけを考えるため, 光路差がmλなら同位相となり強め合う.
一方, 単スリットでは, スリット内の無数の点から出た光すべての重ね合わせを考える.
例えば, a sinθ=λ (m=1)となる方向では, スリット両端A, Bから出た光の光路差は
λであり, AとBの光だけを見れば同位相となって強め合う.
しかし, スリットを上下に2等分すると, 図のAとC, CとB, DとEなど,
ちょうどスリット幅の半分a/2だけ離れた2点から出る光の光路差はλ/2となるから,
位相がπずれて互いに弱め合う.
一般に, a sinθ=mλ (m>0)のとき, スリット両端の光だけを見れば強め合っていても,
スリット全体の光を重ねると, 幅a/(2m)だけ離れた2点から出る光の光路差がλ/2となり,
そのような対応点の組をスリット全体に作ることができるため,
すべての光が対になって打ち消し合い, 合成振幅が0となって暗線が生じる.
