円の方程式の基本形と一般形、三角形の外接円の方程式

circle-equation
中心(a,\ b),\ 半径rの円の方程式(基本形) 特に,\ ${原点中心,\ 半径rの円の方程式$  $$\ ${円の方程式(一般形)$ { $$}\ 一般に,\ 方程式が円を表すには,\ 次の条件を全て満たす}必要がある. 円は,\ 数学的には{「1点からの距離が等しい点の集合」}である. このことを数式で表現したものが,\ 円の方程式である. {1点(a,\ b)からの距離が一定(=r)である点(x,\ y)が満たすべき式}を立式する. 2点間の距離の公式より {(x-a)²+(y-b)²}=r これを2乗して,\ の基本形が得られる. 基本形のメリットは,\ {円の中心と半径が直ちにわかる}ことである. ここで重要なのは,\ {一般形の方程式を見たときに円であると気付けるか}である. 4つの条件を全て満たしていれば,\ 方程式が円を表すといえる.\ 少し補足しておく. \3x²+3y²=1は円(両辺を3で割れば基本形)だが,\ x²+3y²=1は円でない. \x²+xy+y²=1\ のようにxyの項がある2次式は円ではない. 一般形から基本形に変形するには,\ {xとyのそれぞれについて平方完成}を行う. のとき,\ 図形を表さない.} 一般に,\ ax²+bxy+cy²+dx+ey+f=0\ で表される図形を{2次曲線}という. 円はこれの特殊な場合である.\ 2次曲線が表す円以外の図形は,\ 数III}で学習する. 次の円の方程式を求めよ.  \ 点$(1,\ 2)$を中心とし,\ 点$(4,\ -3)$を通る円  \ 2点$(-1,\ 3),\ (4,\ -2)$を直径の両端とする円 {中心と半径が容易に求まる場合,\ 直ちに基本形で表せる.} \ 中心と通る1点の距離を求めれば,\ それが半径である. 最終的に必要なのはr²であるから,\ 根号をつけてrにする必要はない. \ 円の中心は,\ {直径の中点}である. 半径は,\ 中心と2点のうちどちらか一方との距離として求まる. 3点$(6,\ -2),\ (-1,\ 5),\ (8,\ 2)$を頂点とする三角形の外接円の方程式を  三角形の外接円の方程式は,\ 結局は3点を通る円の方程式である.  3点の座標が与えられた場合,\ 円の方程式の一般形を利用して求める. {3文字の連立1次方程式}になるわけだが,\ これをうまく解けない学生が多い. 連立方程式の基本は,\ {1文字消去}である. 本問の場合は,\ 最も消去しやすいnを消去しにいけばよい. このとき,\ 両方から同じ文字を消去しなければならない. 得られた2式から 「円の方程式を求めよ」であれば,\ 中心や半径を答える必要はなく,\ 一般形でよい. 外心が3辺の垂直二等分線の交点であることを利用}] 線分ABの垂直二等分線の方程式$ℓ₁$}を求める.    線分ABの中点は    直線ABの傾きは線分ACの垂直二等分線の方程式$ℓ₂$}を求める.    線分ACの中点は 円の中心(外心)}]外心と点{A}の距離}]$} 外心は,\ {3辺の垂直二等分線の交点}としてとらえることもできる. {3辺AB,\ BC,\ CAのうち,\ 中点が簡単になる辺ABと辺ACで計算した.} 垂直二等分線の方程式は,\ {線分の中点を通り,\ 垂直な直線}として求める. 傾きℓ,\ mである2直線の垂直条件は {ℓ m=-1} {2本の垂直2等分線の交点が外接円の中心(外心)}である. {半径は,\ 外心と3点の頂点のうち1つとの距離}として求める.
タイトルとURLをコピーしました