臨界角と全反射
臨界角
屈折率の大きい媒質から小さい媒質へ光が進む場合(n₁>n₂) (例：水中→空気中),
屈折の法則n₁sinθ₁=n₂sinθ₂より, 入射角θ₁よりも屈折角θ₂のほうが大きい.
そのため, ある入射角θ₀で屈折角がθ₂=90°となり, 屈折光は境界面に沿って進む.
このときの入射角θ₀を臨界角という.
屈折の法則にθ₁=θ₀, θ₂=90°を適用すると n₁sinθ₀=n₂sin90°
臨界角 sinθ₀=(n₂)/(n₁) (暗記ではなく屈折の法則から導く)
特に, 絶対屈折率nの媒質から空気中 (n=1)へ光が進む場合の臨界角は sinθ₀=(1)/(n)
全反射 入射角θ₁が臨界角θ₀を超えると, 光は境界面ですべて反射し, 屈折光はなくなる.
全反射の条件 n₁>n₂ かつ θ₁>θ₀
I
図のように, 絶対屈折率2の媒質1と絶対屈折率√2の媒質2が, 平行な境界面をもって
重なっている. 媒質1の上側と媒質2の下側はいずれも空気であり, 空気の絶対屈折率を
1とする. 空気中から入射角45°で光を媒質1に入射させる. 媒質1中の屈折角をθ₁,
媒質2中の屈折角をθ₂, 媒質2から空気中へ出るときの屈折角をθ₃とする.
(1) sinθ₁を求めよ.
(2) 媒質1に対する媒質2の相対屈折率n₁₂を求めよ. また, θ₂を求めよ.
(3) 媒質1から媒質2へ光が進むときの臨界角θ₀を求めよ.
(4) 光が媒質2から空気中へ出るときの屈折角θ₃を求めよ.
(5) 一般に, 絶対屈折率n₁, n₂ (n₁>n₂)の2つの媒質を考える.
媒質1から媒質2への入射角をθ₁, 屈折角をθ₂とする. 臨界角をθcとするとき,
θ₁>θcでは, 屈折の法則を満たす実在する屈折角θ₂が存在しないことを示せ.
(6) 一般に, 媒質1, 媒質2の絶対屈折率をそれぞれn₁, n₂, 最初の空気中での入射角を
θとする. 各境界面が互いに平行であり, 光がすべての境界面を通過するとき, 最初に
空気中から入射する光と最後に空気中へ出る光が必ず平行になることを示せ.
(1) 空気から媒質1への屈折の法則より sin45°=2sinθ₁ ∴ sinθ₁=(√2)/(4)
[
sinθ₁=(√2)/(4)≈0.35<(1)/(2)=sin30° より, θ₁<30°である.
]
(2) 媒質1に対する媒質2の相対屈折率は n₁₂=n₂n₁=√22
媒質1から媒質2への屈折の法則より 2sinθ₁=√2sinθ₂
(1)より sinθ₂=(1)/(2) ∴ θ₂=30°
(3) 臨界角では屈折角が90°となるから,
屈折の法則より 2sinθ₀=√2sin90°
よって sinθ₀=√22=1√2 ∴ θ₀=45°
I
(4) 媒質2から空気への屈折の法則より √2sinθ₂=sinθ₃
(2)よりθ₂=30°であるから sinθ₃=1√2 ∴ θ₃=45°
(5) 屈折の法則より n₁sinθ₁=n₂sinθ₂ よって sinθ₂=n₁n₂sinθ₁
臨界角θcでは屈折角が90°となるから n₁sinθc=n₂sin90° より sinθc=n₂n₁
θ₁>θcならば sinθ₁>sinθcより sinθ₁>n₂n₁ ……①
①の両辺にn₁n₂を掛けると n₁n₂sinθ₁>1
つまり, sinθ₂>1となるが, これを満たす角θ₂は存在しない.
[
屈折光が存在するか否かは, 数学的には屈折の法則を満たすθ₂の値が存在するか否かに帰着する.
屈折角は0°≤θ₂≤90°であるから, sinθ₂≤1ならばθ₂が存在し, sinθ₂>1ならば存在しない.
臨界角sinθcの条件を用いて, sinθ₂, つまりn₁n₂sinθ₁と1の大小比較を目指す.
]
(6) 媒質1中の屈折角をθ₁, 媒質2中の屈折角をθ₂, 最後に空気中へ出るときの
屈折角をθ₃とする.
空気から媒質1への屈折の法則より sinθ=n₁sinθ₁
媒質1から媒質2への屈折の法則より n₁sinθ₁=n₂sinθ₂
媒質2から空気への屈折の法則より n₂sinθ₂=sinθ₃
よって sinθ=n₁sinθ₁=n₂sinθ₂=sinθ₃ より sinθ=sinθ₃
0°≤θ<90°, 0°≤θ₃<90°より θ₃=θ
よって, 空気中からの入射光と空気中への出射光は必ず平行になる.
[
同様に考えると, 光が各境界面を通過する限り, 媒質が何層あったとしても,
入射前と出射後の媒質が同じであれば, 入射光と出射光は必ず平行になる.
]
I
水中の点光源Pが, 水面から深さhの位置にある.
水の絶対屈折率をn (n>1), 空気の絶対屈折率を1とする.
点光源Pの真上を中心として, 水面上に不透明な円盤を置き, 点光源Pから出た光が
空気中へ一切出ないようにしたい. 円盤の半径の最小値Rをn, hを用いて表せ.
水から空気へ光が進むときの臨界角をθcとする.
円盤の半径が最小となるとき, 円盤の縁に達する光の入射角がちょうど臨界角θcとなる.
臨界角θcでは屈折角が90°となるから, 屈折の法則より nsinθc=sin90°
よって sinθc=(1)/(n)
ゆえに tanθc=sinθccosθc=sinθc1-sin²θc=(1)/(n)1-1n²=1√(n²-1)
一方, 図の直角三角形POAより tanθc=Rh
よって (R)/(h)=1√(n²-1) より R=h√(n²-1)
[
屈折の法則から直接求まるのは, sinθcである.
一方, 図の直角三角形からθcとRを結びつけるには, tanθcを考えればよい.
そこで, 三角比の相互関係sin²θ+cos²θ=1, tanθ=sinθcosθを用いて処理する.
以下のように, 三平方の定理を用いてtanθcを求めることなくRを求めることもできる.
斜辺 PA=√(h²+R²) であるから, sinθc=R√(h²+R²)である.
R√(h²+R²)=(1)/(n) n²R²=h²+R² (n²-1)R²=h² R=h√(n²-1)
