ベクトルを利用する証明はこちら。
\ x^2+y^2=r^2\,上の点(x_1,\ y_1)における接線の方程式$ {接点P$(x_1,\ y_1)$が座標軸上にない}とき,\ $x_1≠0,\ y_1≠0}$である.
\ \ 求める接線の方程式は,\ 直線OPに垂直で,\ 点P$(x_1,\ y_1)}$を通る直線である.
\ \ 直線OPの傾きは$y_1}{x_1}$であるから,\ 接線の傾きは$-x_1}{y_1$である.
\ \ 求める接線の方程式は
\ \ ここで,\ 点P$(x_1,\ y_1)$は円$x^2+y^2=r^2$上にあるから 接点P$(x_1,\ y_1)$が座標軸上にある}とき
\ \ $(x_1,\ y_1)=(±\,r,\ 0)}$のとき 接線の方程式は\ $x=±\,r$\ (複号同順)
\ \ $(x_1,\ y_1)=(0,\ ±\,r)}$のとき 接線の方程式は\ $y=±\,r$\ (複号同順)
円の接線の方程式は,\ 暗記必須}の公式である.
円の方程式の2乗のうち1つの(x,\ y)を接点(x_1,\ y_1)に変える}だけなので,\ 非常に覚えやすい.
本項では,\ ほぼ自然な流れの標準的な証明を示した.
接点における接線と垂直な直線が原点を通る}ことを利用するものである.
ベクトルによる証明が簡潔だが,\ これはベクトル分野で学習する.
直線の傾きの分母にx_1,\ y_1\,がくるので,\ これが0になる場合を分ける}必要が生じる.
2直線y=m_1x+n_1,\ y=m_2x+n_2\,の垂直条件 m_1m_2=-\,1}
1点(x_1,\ y_1)を通る傾きmの直線の方程式 y-y_1=m(x-x_1)
最後,\ 点 Pが円上にある条件も考慮して,\ 公式が導かれる.
中心$(a,\ b)$の円$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$上の点P$(x_1,\ y_1)$における接線の方程式を求める.
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$の中心が原点となるよう,\ $x$方向に$-\,a$,\ $y$方向に$-\,b$平行移動}する.
このとき,\ 点P$(x_1,\ y_1)$はP$'(x_1-a,\ y_1-b)$に移る.
円$x^2+y^2=r^2$上の点P$'(x_1-a,\ y_1-b)$における接線は $(x_1-a)x+(y_1-b)y=r^2$
$x$方向に$a$,\ $y$方向に$b$平行移動}すると $(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$
中心が原点となるように平行移動し,\ 先に証明したx_1x+y_1y=r^2\,を利用する.
x方向にa,\ y方向にb平行移動するとき,\ x\,→\,x-a,\ y\,→\,y-bとすればよいのであった.
円(x-2)^2+(y-1)^2=25上の点(6,\ 4)における接線の方程式を求めよ.
円の接線は様々な方法で求めることができるが,\ 接線の公式の利用が別次元に簡潔である.
そもそも接線を求める過程を一般化して公式が導かれているので,\ 瞬殺できて当然である.
$[1]$\ \ 接線の方程式の公式 .93zw}$[2]$\ \ 接線$⊥}$半径
$[3]$\ \ $(中心と直線の距離)=(円の半径)$ $[4]$\ \ 接する$\ ⇔\ }$重解
$[1]$\ \ [\,接線の方程式の公式}\,
$[2]$\ \ [\,接線$⊥$半径}\,]
$[1]$}\ \ 円の中心$(2,\ 1)と接点(6,\ 4)を通る直線の傾きは 4-1}{6-2}=34$
$[1]$}\ \ 接線の方程式の傾きを$m$とすると
$[3]$\ \ [\,$(中心と直線の距離)=(円の半径)}$\,
$[3]$}\ \ 円の中心$(2,\ 1)$と直線①との距離が円の半径と等しいから \
$[3]$}\ \ 両辺を2乗して $(-\,4m+3)^2=25(m^2+1)$ [\,両辺が0以上なので2乗しても同値
∴ mの値を①に代入して整理すると 4x+3y-36=0}$}
直線を基本形\ y=mx+n\ で設定するとき,\ x軸に垂直な直線の場合分けを要する.}
x軸に垂直な直線には傾きが存在しないからである.
本問の場合は接線がx軸と垂直になる可能性はないから,\ それを確認した上で基本形で設定する.
中心と直線の距離を点と直線の距離の公式}で求め,\ 半径と一致するようにmの値を定めればよい.
点(x_1,\ y_1)と直線ax+by+c=0の距離 ax_1+by_1+c{√{a^2+b^2
接する$\,⇔\,$重解}\,
