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x=f(y),\ y=a,\ y=b,\ y軸で囲まれた部分の回転体の体積}}$} \\[.5zh] 回転体の体積は,\ \bm{回転軸に垂直な平面で切断}して考える.\ \bm{切り口が必ず円になる}からである. \\[.2zh] 上図のyにおける切断面において,\ 半径はf(y)であるから\bm{断面積は\ \pi\{f(y)\}^2=\pi x^2}\ である. \\[.2zh] 微小な厚さdyを掛けた微小体積\ \pi\{f(x)\}^2\,dy\ をa\leqq x\leqq bで積分すると体積が求まる. \\[.2zh] 回転体の体積の問題ではとにかく\,\bm{\pi\,を掛け忘れることが多い}ので注意する必要がある. 曲線y=\log xに原点から引いた接線と曲線自身とx軸で囲まれた部分をy軸周りに$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$1回転してできる立体の体積Vを求めよ.$ \\   $接点を(t,\ \log t)とする.\ また,\ y’=\bunsuu1x\ である.$ \\[.5zh]   $接線の方程式は y=\bunsuu1t(x-t)+\log t=\bunsuu1tx+\log t-1$ \\[.5zh]   $これが原点を通るから t=e より y=\bunsuu1ex  接点\ (e,\ 1)$ \\\\ これが原点を通る条件を考慮して,\ 接線の方程式と接点を求める. \\[1zh] y軸周りの回転体であるから,\ y軸に垂直な平面で切断しなければならない. \\[.2zh] \bm{y=\log xをx=e^y\ に変形してy方向に積分},\ つまり\ \pi\dint{0}{1}x^2\,dy\ を計算する. \\[.5zh] ここで,\ \pi\dint{0}{1}(e^y)^2\,dy\ で求まるのは図の赤枠部分の回転体の体積である. \\[1zh] よって,\ 斜線部分の回転体の体積を引く必要がある.\ これは\bm{半径e,\ 高さ1の円錐}である. y=\cos x\ \left(0\leqq x\leqq\bunsuu{\pi}{2}\right),\ x軸,\ y軸で囲まれた部分をy軸周りに1回転してできる$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$立体の体積Vを求めよ.$ \\ y軸周りの回転体であるから,\ \pi\dint{0}{1}x^2\,dy\ を計算すればよい. \\[1zh] しかし,\ y=\cos x\ を\ x=\ の形に変換することができない. \\[.2zh] そこで,\ 逆に\bm{dyをdxに変換}する.\ 要は\bm{置換積分}である. \\[.2zh] 同時に\bm{積分区間が変化}することに注意.\ 後は部分積分を2回繰り返せばよい.