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y=f(x),\ x=a,\ x=b,\ x軸で囲まれた部分の回転体の体積}}$ \\[.5zh] 回転体の体積は,\ \bm{回転軸に垂直な平面で切断}して考える.\ \bm{切り口が必ず円になる}からである. \\[.2zh] 上図のxにおける切断面において,\ 半径はf(x)であるから\bm{断面積は\ \pi\{f(x)\}^2=\pi y^2}\ である. \\[.2zh] 微小な厚さdxを掛けた\ \pi\{f(x)\}^2\,dx\ が微小体積をa\leqq x\leqq bで積分すると体積が求まる. \\[.2zh] 回転体の体積の問題ではとにかく\,\bm{\pi\,を掛け忘れることが多い}ので注意する必要がある. y=\sin x\ (0\leqq x\leqq2\pi)\ とx軸で囲まれた部分をx軸周りに回転させてできる立体の$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$体積Vを求めよ.$ \\ 対称性を考慮すると,\ 0\leqq x\leqq\pi\ の部分の回転体の体積を2倍すれば済む. \\[.2zh] \sin^2x\ は,\ 2倍角の公式\ \cos2x=1-2\sin^2x\ の逆で次数を下げる. 2曲線y=\log x,\ y=3\log xと2直線x=e,\ x=e^2\,で囲まれた部分をx軸の周りに$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$回転させてできる立体の体積Vを求めよ.              [鹿児島大]$ \\ \bm{2曲線で囲まれた部分の回転体の体積}である. \\[.2zh] \bm{y=3\log xとx軸で囲まれた部分(赤の枠線)の回転体の体積から斜線部分の回転体の体積を引く.} \\[1zh] f(x)=3\log x,\ g(x)=\log x\ とすると,\ 次の計算になるわけである. \\[.5zh] V=\pi\dint{}{}\{f(x)-g(x)\}^2\,dx\ は\bm{間違い}なので\bm{注意!} \\[.8zh] 一般に,\ 2曲線間の回転体の体積の切り口は右図のようなドーナツ型になる. \\[.2zh] 例えば,\ 右図の面積を求めるのに\ \pi(2-1)^2=\pi\ とはしないだろう. \\[.2zh] 当然,\ \pi\cdot2^2-\pi\cdot1^2=\pi(2^2-1^2)=3\pi\ とするはずである. \\[.2zh] 回転体の体積も同様に,\ \bm{2乗してから引く}のであって引いてから2乗ではないのである. \\[1zh] (\log x)^nは(x)'(\log x)^n\ とみて\bm{部分積分}する型である. \\[.2zh] \{(\log x)^2\}’=2\log x(\log x)’=2\log x\cdot\bunsuu1x \\[.5zh] \dint{}{}\log x\,dx=x\log x-x+C\ は公式として暗記しておくべきである. 曲線y=x^2-x+1に原点から引いた2本の接線と曲線自身で囲まれた部分をx軸周$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$りに回転させてできる立体の体積Vを求めよ.             [香川大]$ \\   $接線の方程式は y=(2t-1)(x-t)+t^2-t+1=(2t-1)x-t^2+1$ \\[.5zh]   $これが原点を通るとき  0=-\,t^2+1 より t=\pm\,1$ \\[.5zh]   $よって,\ 接線の方程式は \textcolor{magenta}{y=x,\ \ y=-\,3x}  接点はそれぞれ\textcolor{magenta}{(1,\ 1),\ \ (-\,1,\ 3)}$ \\\\ 接点を文字で設定して接線の方程式をとりあえず作成し,\ これが原点を通るようにする. \\[.2zh] 接線の方程式と接点が求まり,\ (0,\ 1)も一応加えて素早く図示する. \\[1zh] 2曲線間の回転体の体積を求めることになるが,\ 区間を分けて積分したりする必要はない. \\[.2zh] 斜線部分は\bm{三角形}であるから,\ これを回転させた立体は\bm{円錐}になる. \\[.2zh] 結局,\ y=x^2-x+1\ (-\,1\leqq x\leqq1)\ とx軸間の回転体の体積から2つの円錐の体積を引けばよい. \\[.2zh] 積分計算では,\ 積分区間が対称なので\bm{偶関数と奇関数}を考慮する. \\[.2zh] 回転によって,\ 左の斜線部分は半径3,\ 高さ1の円錐,\ 右の斜線部分は半径1,\ 高さ1の円錐になる. \\[.2zh] 当然,\ (円錐の体積)=(底面積)\times(高さ)\times\bunsuu13\ である. \\[1.5zh] 基本的だが,\ 「曲線外の点を通る接線」「偶関数・奇関数」「直線図形の利用」が問われる良問である. \\[.2zh] このような問題では,\ 解けるか否かだけではなく,\ 解答の簡潔さやスピードも意識して演習しよう.