後半の問題の(1)の解答が「3x-2y+6=0」となっていますが、「3x+2y-6=0」の誤りですm(_ _)m

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スライダーを動かして方程式がkの値によってどう変化するか確認してください。特にk=-1とk=0のとき、そして中心原点の円は表せないことが重要です。


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円$\ (k+1)x^2+(k+1)y^2-6x-4y-4k+8=0\ が定数kの値にかか$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}わらず常に通る2点の座標を求めよ. \\  問題を次のように言い換えて解く.「\textcolor{cyan}{kの値に関係なく通る定点の座標}」}$kに何を代入しても式が成立するような(x,\ y)を求める}」}$ \\[.2zh]   $\bm{\longrightarrow\ \ 「\textcolor{red}{kについての恒等式となるよう(x,\ y)を定める}」}$ \\\\\\  $kについて整理すると \bm{「kの値によらず\ kf(x,\ y)+g(x,\ y)=0」\ \Longleftrightarrow\ 「f(x,\ y)=g(x,\ y)=0」} \\[1zh] 後は連立方程式を解くだけだが,\ 1次の連立方程式のように1文字消去ができない. \\ まず,\ \bm{\maru1-\maru2}を計算し,\ \bm{2次の項を消去}する(\maru3). \\ これで,\ 2次式\maru1と1次式\maru3の連立方程式に帰着する. \\ \bm{同値関係 さて,\ この\bm{同値関係の図形的意味}を理解しておくことが後の応用につながる. \\ 図形的には,\ \maru1と\maru2は円,\ \maru3は直線を表す. \\ 解の図形的意味は,\ 円\maru1と直線\maru3の交点の座標}である. \\[.5zh] つまり,\ \bm{2円の交点を,\ 1円と1直線の交点として求めたことになる}のである. \\ これは,\ \bm{\maru3が2円\maru1,\ \maru2の2つの交点を通る直線}であることも意味している. 2つの交点を通る直線の方程式を求めよ. \\[.5zh] \hspace{.5zw} (2)\ 2つの交点を通り,\ 点$(6,\ 0)$を通る円の中心と半径を求めよ.  先の問題の要点をもう一度確認する. \円\ kf(x,\ y)+g(x,\ y)=0\ が必ず通る点}」  これを逆に考える. 交点を通る直線と円 この式で,\ \bm{kをどのように変えても,\ 円\ f(x,\ y)=0\ を表すことはできない.} \\ これは,\ \bm{kf(x,\ y)+lg(x,\ y)=0}\ と設定すると克服できる. \\ これにより,\ k=1,\ l=0\ とすると,\ 円\ f(x,\ y)=0\ が得られるようになる. \\ 実際には,\ 問題が生じない限り,\ 扱いやすい\ kf(x,\ y)+g(x,\ y)=0\ を用いる. \\ この定点を通る円全体の集合を\bm{「円束(そく)」}という. 一般形に変形}]$} \\[.5zh]  $C_1とC_2の交点を通る曲線の方程式  (1)\ 求める直線は,\ \maru1において,\ $\textcolor{red}{k=-1}$として得られる. (1)\ \bm{2つの円の交点を通る直線はただ1本}しかない. \\ \phantom{(1)}\ ここで,\ \maru1に\bm{k=-1を代入すると,\ 2次の項が消え,\ 直線の方程式となる.} \\ \phantom{(1)}\ 当然,\ この直線は2つの円の交点を通る. \\ \phantom{(1)}\ 2円の交点を通る直線は1本しかなく,\ 2円の交点を通る直線が求まった. \\ \phantom{(1)}\ よって,\ \bm{k=-1のときに求まる直線が,\ 題意の直線}なのである. \\[1zh] \phantom{(1)}\ 先の問題で,\ C_1とC_2の交点を\ \phantom{(1)}\ このときの\bm{C_1-C_2は,\ 2円の2つの交点を通る直線}であった. \\ \phantom{(1)}\ \bm{k=-1の代入は,\ 結局はこのC_1-C_2を求めたことに等しい.} \\[1zh] (2)\ 通る点を代入してkの値を定めるだけである. \\[1zh] 本問を真面目に求めようとすると,\ 次のような手順になる. \\ まず,\ C_1とC_2の2つの交点を,\ 連立方程式を解いて求める. \\ 2交点を通る直線は,\ 連立方程式の2つの解を通る直線として求める. \\ 2交点と点(6,\ 0)を通る円は,\ 3点が与えられた場合の円の方程式として求める. \\ 一般形\ x^2+y^2+lx+my+n=0\ に3点の座標を代入し,\ l,\ m,\ nを定める. \\[1zh] C_1とC_2の交点の値が汚く,\ その後の計算が困難であることが少なくない. \\ やはり,\ 本解のような方法を習得しておくべきである.