circle-tangent1

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様々な解法が考えられる.\ しかし,\ \textbf{\textcolor{blue}{接線の公式の利用が別次元に簡潔}}である. \\[.5zh]   $[1]$\ \textbf{\textcolor{red}{接線の方程式の公式}{接線$\bm{\perp}$半径}} \\[.5zh]   $[3]$\ $\bm{\textcolor{red}{(中心と直線の距離)=(円の半径)}}接する$\bm{\ \Longleftrightarrow\ }$重解}} \\\\\\  $\bm{\textcolor{blue}{円\ x^2+y^2=r^2\ 上の点(x_1,\ y_1)における接線の方程式円\ (x-a)^2+(y-b)^2=r^2\ 上の点(x_1,\ y_1)における接線の方程式}} 覚えていない学生が意外に多いが,\ \bm{暗記必須}の公式である. \\ 円の方程式で,\ \bm{2乗のうち1つの(x,\ y)を接点(x_1,\ y_1)に変える}だけである. 接線の方程式の公式接線$\perp$半径} 円の中心$(2,\ 1)と接点(6,\ 4)を通る直線の傾きは \bunsuu{4-1}{6-2}=\bunsuu34$ \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ 接線の方程式の傾きを$m$とすると  傾きlの直線と傾きmの直線の垂直条件は \bm{lm=-1} \\ 点(x_1,\ y_1)を通る傾きmの直線は \bm{y-y_1=m(x-x_1)} \\[1zh] この解法を一般化した結果として得られるのが,\ 接線の方程式の公式である. \\ 公式を導くとき,\ 座標軸に平行な直線を場合分けして考える必要がある. \\ それも全て含まれ,\ \bm{何も考えず一発で適用できるのが接線の方程式の公式}である. \\ 以上のことから,\ 公式の圧倒的な優位性がわかる.\ ゆえに,\ 暗記必須なのである. (中心と直線の距離)=(円の半径)}$における接線はx軸に垂直ではない.}}}$ \\[.2zh] \phantom{ $[3]$}\ よって $y-4=m(x-6)\ とおける.$ \\[.2zh] \phantom{ $[3]$}\ これを一般形に変形して  \phantom{ $[3]$}\ 円の中心$(2,\ 1)と直線\maru1の距離は$ \これが円の半径に等しいから両辺を2乗して $(-4m+3)^2=25(m^2+1)$ \\[.2zh] \phantom{ $[3]$}\ 整理して  mの値を\maru1に代入して整理すると 直線を基本形\ y=mx+n\ で設定する場合,\ x軸に垂直な直線の場合分けを要する. \\ x軸に垂直な直線は,\ 傾きが存在しないからである. \\ 本問は,\ 接線がx軸と垂直である可能性はないから,\ 断った上で基本形で設定する. \\[1zh] 中心と直線の距離を\bm{点と直線の距離の公式}で求め,\ 半径と一致するmを求める. \\ mの値がただ1つ存在するであろうことを予想しつつ,\ 計算していく. \\ \bm{絶対値も根号も0以上であるから,\ 2乗しても同値}である. 接する$\ \Longleftrightarrow\ $重解}{点(6,\ 4)における接線はx軸に垂直ではない.}}}$ \\[.2zh] \text{[3]}と同様,\ 断りをいれた上で,\ 接線を基本形で設定する. \\ これを\bm{円の方程式と連立し,\ 重解をもつ条件を考える.} \\ やるべきことは単純だが,\ 相当の計算量が要求され,\ 実戦では使えない.