circle-equation

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中心(a,\ b),\ 半径rの円の方程式(基本形)}} 特に,\ $\bm{\textcolor{blue}{原点中心,\ 半径rの円の方程式}}$ \\[.5zh]  $[2]$\ $\bm{\textcolor{blue}{円の方程式(一般形)}}$ \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ 一般に,\ 方程式が円を表すには,\ \textbf{次の条件を全て満たす}必要がある. \\[.5zh] 円は,\ 数学的には\bm{「1点からの距離が等しい点の集合」}である. \\ このことを数式で表現したものが,\ 円の方程式である. \\ \bm{1点(a,\ b)からの距離が一定(=r)である点(x,\ y)が満たすべき式}を立式する. \\ 2点間の距離の公式より \ruizyoukon{(x-a)^2+(y-b)^2}=r \\ これを2乗して,\ [1]の基本形が得られる. \\ 基本形のメリットは,\ \bm{円の中心と半径が直ちにわかる}ことである. \\[1zh] ここで重要なのは,\ \bm{一般形の方程式を見たときに円であると気付けるか}である. \\ 4つの条件を全て満たしていれば,\ 方程式が円を表すといえる.\ 少し補足しておく. \\ \maru2\ 3x^2+3y^2=1は円(両辺を3で割れば基本形)だが,\ x^2+3y^2=1は円でない. \\ \maru3\ x^2+xy+y^2=1\ のようにxyの項がある2次式は円ではない. \\[1zh] 一般形から基本形に変形するには,\ \bm{xとyのそれぞれについて平方完成}を行う. \\ のとき,\ 図形を表さない.} \\[1zh] 一般に,\ ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\ で表される図形を\bm{2次曲線}という. \\ 円はこれの特殊な場合である.\ 2次曲線が表す円以外の図形は,\ 数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}で学習する. 次の円の方程式を求めよ. \\[.5zh] \hspace{.5zw} (1)\ 点$(1,\ 2)$を中心とし,\ 点$(4,\ -3)$を通る円 \\[.5zh] \hspace{.5zw} (2)\ 2点$(-1,\ 3),\ (4,\ -2)$を直径の両端とする円 \\ \bm{中心と半径が容易に求まる場合,\ 直ちに基本形で表せる.} \\[.5zh] (1)\ 中心と通る1点の距離を求めれば,\ それが半径である. \\ 最終的に必要なのはr^2であるから,\ 根号をつけてrにする必要はない. \\[.5zh] (2)\ 円の中心は,\ \bm{直径の中点}である. \\ 半径は,\ 中心と2点のうちどちらか一方との距離として求まる. 3点$(6,\ -2),\ (-1,\ 5),\ (8,\ 2)$を頂点とする三角形の外接円の方程式を \\[.2zh]  三角形の外接円の方程式は,\ 結局は\textbf{\textcolor{blue}{3点を通る円の方程式}}である. \\  3点の座標が与えられた場合,\ 円の方程式の一般形を利用して求める.}} \\\\ \bm{3文字の連立1次方程式}になるわけだが,\ これをうまく解けない学生が多い. \\ 連立方程式の基本は,\ \bm{1文字消去}である. \\ 本問の場合は,\ 最も消去しやすいnを消去しにいけばよい. \\ このとき,\ 両方から同じ文字を消去しなければならない. \\ 得られた2式から 「円の方程式を求めよ」であれば,\ 中心や半径を答える必要はなく,\ 一般形でよい. 外心が3辺の垂直二等分線の交点であることを利用}] \\[1zh] 線分ABの垂直二等分線の方程式$\ell_1$}を求める. \\[.5zh]    線分ABの中点は    直線ABの傾きは線分ACの垂直二等分線の方程式$\ell_2$}を求める. \\[.5zh]    線分ACの中点は 円の中心(外心)}]外心と点\mathRM{A}の距離}]$} 外心は,\ \bm{3辺の垂直二等分線の交点}としてとらえることもできる. \\ \mathRM{3辺AB,\ BC,\ CAのうち,\ 中点が簡単になる辺ABと辺ACで計算した.} \\ 垂直二等分線の方程式は,\ \bm{線分の中点を通り,\ 垂直な直線}として求める. \\ 傾き\ell,\ mである2直線の垂直条件は \bm{\ell m=-1} \\ \bm{2本の垂直2等分線の交点が外接円の中心(外心)}である. \\ \bm{半径は,\ 外心と3点の頂点のうち1つとの距離}として求める.