方程式\ $x^2+y^2+2ax-2ay+3a-1=0$\ が表す図形を答えよ. \\
{方程式$\,x^2+y^2+lx+my+n=0\,}$の表す図形 \\
$x,\ yについてそれぞれ平方完成し,\ (x-a)^2+(y-b)^2=k\ の形に変形する.$半径\ √ k\ の円} {k=0} 1点\ (a,\ b)} 図形を表さない}
$中心(-\,a,\ a),\ 半径\ √{2a^2-3a+1}\ の円}$}
[2]\ \ $(2a-1)(a-1)=0},\ つまり\ a=12,\ 1$のとき
$a=12}\ のとき 1点-12,\ 12}$
$a=1}.9zw}のとき 1点\ (-\,1,\ 1)}$
図形を表さない.}$
基本形(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\,の形だが,\ 安易にこの式が表す図形を円と答えてはならない.
円を表すためには,\ 正の実数rが存在していなければならない}からである.
正の実数rが存在するための条件は,\ r^2>0}となることである.
r^2=0のとき,\ X^2+Y^2=0\ ⇔\ X=Y=0}\ を利用する.
つまり,\ (x+a)^2+(y-a)^2=0\ ⇔\ x+a=0\ \ かつ\ \ y-a=0}\ である.
このとき,\ (x-a)^2+(y-b)^2=0\,が表す図形は1点\,(-\,a,\ a)}である.
r^2<0のとき,\ (x+a)^2+(y-a)^2<0となる.\ ここで,\ 常にX^2+Y^2≧0}\ である.
よって,\ (x+a)^2+(y-a)^2<0を満たす実数(x,\ y)の組は存在しない.}
これは,\ 方程式が座標平面上のいかなる図形も表さない}ことを意味している.
