円$x^2+y^2=4$と直線$y=2x+k$の位置関係を調べよ.
また,\ 接するときの接点の座標を求めよ. \\
円と直線の位置関係 \\
円と直線の位置関係の判別には,\ 以下の2つの方法がある.円の中心と直線間の距離$d}$と円の半径$r}$の大小関係を調べる. \\
$[1]$}\ \ このとき,\ 点と直線の距離の公式を利用する.
$[2]$\ \ 円の方程式と直線の方程式を連立し,\ 判別式で実数解の個数を調べる. \{異なる2点で交わる & 1点で接する & 共有点なし (実数解2個) & D=0\ (実数解1個) & \\ (実数解0個) \\ \hline
原点中心半径1の円と点Aを通る傾き(3,-1)の直線との交点をP,Q
%原点中心半径1の円とORの交点をF,Gと直線$2x-y+k=0$の距離を$d$とすると
$y=2x±2√5$と垂直で,\ 円の中心(原点)を通る直線の方程式は
2直線$y=-12x$,\ $y=2x±2√5$の交点}を求めて
多くの場合,\ [1]の方針でいく方が簡潔に済む.
特に,\ 接点の座標を求める必要がない場合には[1]が圧倒的に優位}である.
点(x_1,\ y_1)と直線ax+by+c=0の距離 ax_1+by_1+c{√{a^2+b^2
結局,\ 絶対値つき方程式・不等式}の問題に帰着する.
場合分けをせずとも瞬殺できる型}である.\
接点の座標は,\ 接線の接点における法線(垂直な直線)が円の中心を通る}ことを利用して求める.
2直線y=m_1x+n_1,\ y=m_2x+n_2\,の垂直条件は m_1m_2=-\,1
よって,\ y=2x±2√5\,と垂直な直線の傾きmは,\ 2･ m=-\,1よりm=-12\,である.
原点を通る傾き-12\,の直線はy=-12x\,で,\ これと接線の交点の座標を求めればよい.
接点の座標(重解)は,\ ①にk=±\,2√5\,を代入して解いても求められるが,\ スマートではない.
2次方程式\ ax^2+bx+c=0\ の解は x=-\,b±√{b^2-4ac{2a}
よって,\ D=b^2-4ac=0\ のとき重解\ x=-b}{2a\,であり,\ これを利用するのがスマートである.
①においてa=5,\ b=4kなので重解はx=-25k\,であり,\ これにk=±\,2√5\,を代入すればよい.
そもそも( )^2\,の形になるようにkの値を定めたのであるから,\ 瞬時に因数分解できる.}
