円と直線の位置関係の判定法2パターン

circle-line
円と直線の位置関係をとらえるには,\ 次の2つの方法がある.  $$\ 円の中心と直線間の距離${d}$}と円の半径${r}$}の大小関係を調べる. { $$}\ このとき,\ 点と直線の距離の公式を利用する.  $$\ 円の方程式と直線の方程式を連立し,\ 判別式で実数解の個数を調べる.  なお,\ 接点の座標が不要ならば,\ 必要ならば}と使い分ける. {共有点 {(実数解2個) & {D=0\ (実数解1個) & {\ (実数解0個) 原点中心半径1の円と点Aを通る傾き(3,-1)の直線との交点をP,Q \Tyuuten\P\Q\R %P,Qの中点をR \CandL\O{1}\O\R\F\G %原点中心半径1の円とORの交点をF,G  直線の方程式の一般形は直線の距離を$のとき,\ 異なる2点で交わる.}$ のとき,\ 1点で接する.}$ のとき,\ 共有点をもたない.}$ 本問は{接点の座標を求める必要がない.} よって,\ {点と直線の距離の公式を利用する方針でいくべき}である. 判別式を利用する方針は,\ 計算量が多くなるので,\ できる限り避けたい. 直線の方程式を一般形にして,\ 点と直線の距離の公式で円と直線間の距離を求める. 後は,\ {絶対値付き方程式・不等式}の問題に帰着する. 本問のは,\ 場合分けをせずとも{瞬殺できる型}である.\ 以下,\ 交点と接点をまとめて共有点という.\ 接する場合を,\ 交点1個とは普通いわない. 判別式の利用(おまけとして接点の座標も求める)}]  これを整理して のとき,\ 異なる2点で交わる.}$    のとき,\ 1点で接する.}$ のとき,\ 共有点をもたない.}$ 接点の座標が必要な場合も想定し,\ 判別式を用いた解答も確認しておく. {実数解の個数は,\ 図形的には共有点の個数}であり,\ 円と直線の位置関係がわかる. 接点の座標は,\ 方程式の重解である. 重解を求めるとき,\ わざわざaの値を代入して2次方程式を解く必要はない. 2次方程式\ ax²+bx+c=0\ の解は x={-b{b²-4ac{2a} ここで,\ D=b²-4ac=0\ のとき {重解\ x=-{b}{2a(理解した上でさらに暗記) これでx座標が素早く求まり,\ 後は\ y=2x+a\ に代入してy座標を求める.
タイトルとURLをコピーしました