代表的な同値変形8パターンとその証明(高校数学最重要事項)

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命題${p} q$が真}であるとき,${ \ q}はp}であるための必要条件}である \ p}はq}であるための十分条件}である }$という. 命題${p} q$と${q} p$がともに真}であるとき,\ これを${p} q$と表し,\ ${ \ p}はq}であるための必要十分条件}である \ q}はp}であるための必要十分条件}である \ p}とq}は同値}である }$という.} さて,\ 必要条件・十分条件の判断が苦手だという学生は多い. その理由の1つは,\ 最低限の同値変形ができないことにある. 実は,\ $$や$$を考えるとき,\ 先に$$を考えるべきなのである. それが何故かは後にわかるので,\ 当ページでまず代表的な同値変形を確認する. 同値変形は他分野でも頻繁に行うため,\ これができるか否かが高校数学全般に影響する. きちんと確認しておいてほしい. 以下の文字はすべて実数とする. 積xyが0x,\ yの少なくとも一方が0 念のため確認すると,\ 数学の「または」は「少なくとも一方」であり,\ 「どちらか一方」ではない. よって,\ (x=0またはy=0)には(x=0かつy=0)も含まれている. 常にx²0,\ y²0より,\ 和x²+y²が0ならばx=y=0である. これらは,\ 3つ以上の変数に対しても同様に成立する. xyz=0\ & \ x=0またはy=0またはz=0 の向きに同値変形することが多いが,\ 問題によってはの向きの同値変形が必要になる. どちらの向きにも瞬時に同値変形できるようにしておかなければならない.\ 以下のものも同様である. 積xyが正(xもyも正)または(xもyも負) 積xyが負xとyの一方が正で他方が負 領域(数II})を利用すると,\ 視覚的に同値性を確認できる. xy>0は(xもyも正)\ または\ (xもyも負)であるから,\ 図の斜線部分を表す. x+y>0はy>-xより直線y=-xの上側,\ x+y<0はy<-xより下側を表す.   x+y>0かつxy>0y=-xの上側(薄青)かつ斜線部分第1象限 x+y<0かつxy>0y=-xの下側(薄赤)かつ斜線部分第3象限 [-.5zh] この同値性は覚えておくべきである.\ そのとき,\ 不等号の向きに注意すること. 必要十分の問題なら瞬殺でき,\ 他分野でも登場する. {左辺も右辺も0以上ならば},\ 両辺を2乗しても同値である.} 高校数学では同値なものが多くあるが,\ 何らかの前提条件のもとで同値であるものも多い. 教科書等には必ず前提条件も書いてあるので,\ それを含めて確認しておかなければならない. また,\ 記述試験で前提条件を確認せずに用いると,\ 結果が正しくても減点されうる. l} 上は大丈夫だろう.\ なお,\ x=-xx0である. 下は具体的な数値で理解しておくと応用が利く. x0のとき,\ x>xは成り立たない.\ 例えば,\ 2}=2>2は成り立たない. x<0ならば,\ x>xが成り立つ.\ 例えば,\ -2}=2>-2が成り立つ. 同様に考えると,\ x0という前提条件の下では瞬殺できるという話であった.\ 必要ならば復習しておいてほしい. 通常は学習しないが,\ 上級者用の裏技として[6]’があるのであった. 正しく使いこなすのはやや難しいが,\ 記述試験でなければ積極的に利用していきたい. {絶対値は当然0以上なので,\ 両辺を2乗しても同値である.} そして,\ {絶対値は2乗するとはずれる.} x0\ のとき  x²=(x)²=x² x0\ のとき  x²=(-x)²=x² より,\ どっちにしても x²=x²だからである. ₀ 特に x= yx=yが重要であり,\ 直ちに同値変形できるようにしておきたい. 基本的には無断使用してよいが,\ 証明も理解しておこう. x}=y}x²=y²x²-y²=0(x+y)(x-y)=0x=y }]$  $[8] { \ xy=0}x=0}かつ}y0} \ xy>0}xy>0} \ xy<0}xy<0} }$ $[l} 一般に,\ xy=zならばx=yzだが,\ x=yzだからといって\ xy=zとは限らない. 実際,\ 0=0zは成り立つが,\ 00=zは成り立たない. (分母)0を加えることで同値になる. { xy=zx=yzかつy0} [1.8zh] 不等式の場合,\ 両辺に負数を掛けると不等号の向きが逆転することに注意しなければならない. 安易に\ xy>0の両辺にyを掛けてx>0としてはならない.\ もしy<0ならばx<0となる. 場合分けして分母を払ってもよいが,\ {両辺に2乗を掛ける}といううまい同値変形の方法がある. xy>0の両辺にy²(>0)を掛けると xy>0
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