命題p⇒qの逆・裏・対偶

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条件$p,\ q$を満たすものの全体の集合をそれぞれ$P,\ Q$とする. 0.95}{$「p qが真」P Q Q P「 q} p}\ が真」$} よって,\ 元の命題の真偽と,\ その対偶の真偽は一致する. ゆえに,\ 命題${p q}$の証明問題では,\ 代わりに対偶命題${ q p}$を証明してもよい. なお,\ 命題$p q$が偽である場合,\ 反例も命題${p q}$と対偶命題${ q p}$で一致する. $[l} P Qであるとき,\ Q(斜線部分)が\ P(色塗り部分)に含まれる( Q P). {逆q pと裏\ p q\ も対偶の関係にあるから,\ 真偽が一致する.} 当然,\ p qと逆q pの真偽が一致するとは限らない(P QQ Pは成り立たない). 裏\ p q\ と,\ p qの否定は別物である. 「p q」は「pならば常にq」であるが,\ その否定は「(pならば常にq)でない」である. つまり,\ 「pなのにqでないもの(反例)が存在する」が「(pならば常にq)でない」である. この「(p q)の否定」が「pならば常に(qでない)\ (p q)」と別物であることにも注意する. p qの反例は,\ pなのにqでないもの,\ つまりpかつ qを満たすものである. q pの反例は,\ qなのに pでないもの,\ つまり qかつpを満たすものであるから一致する. $x,\ yを実数とする.\ 次の命題の逆・裏・対偶を述べ,\ 真偽を調べよ.$ $ x=1かつy=2 ならば x+y=3$ ${逆:x+y=3 ならば x=1かつy=2}$ \ 偽} 反例:$x=3,\ y=0}$ ${裏:x1またはy2 ならば x+y3}$ \ 裏の対偶である逆が偽であるから} 偽} ${対偶:x+y3 ならば x1またはy2}$ \ 対偶である元の命題が明らかに真であるから} 真}
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