条件の否定とド・モルガンの法則、「すべて」「ある」の否定

条件$pの否定「{pでない」を\ { p\ で表す.$ 注意すべきは,\ $ p$が${p}$以外{全}{部}となることである. よって否定を考えるとき,\ 全体集合が明確でなければならない. 全体集合が何かにより,\ $p$以外が何かが変わるからである. 例えば,\ $x$が実数}のとき,\ $x0$の否定は0より大きい実数全部($x>0$)である. 一方,\ $x$が整数}のとき,\ $x0$の否定は0より大きい整数全部($x=1,\ 2,\ 3,\ $)である. よって,\ $x1$と表現することが可能になる(もちろん$x>0$でもよい). また,\ ${p}が真}のとき\  }p\ は偽},\ p}が偽}のとき\  }p\ は真}となる.}$ [-16zh] 「すべて」「ある」の否定   「すべて」「ある」については,\ 同じ意味をもつ別の言い回しに注意が必要である. {すべての${x}$について$x>0$」 & 「ある${x}$について$x>0$」 $=$「任意の${x}$について$x>0$」 & $=$「適当な${x}$について$x>0$」 $=$「どんな${x}$についても$x>0$」 & $=$「少なくとも1つの${x}$について$x>0$」 $=$「常に$x>0$」 & $=$「$x>0$となる${x}$が存在する」 特に,\ 「任意の$x$」や「ある$x$」「適当な$x$」は,\ 日常語の感覚だと意味を取り違えやすい. 「すべての$x$」や「少なくとも1つの$x$」「$x$が存在する」に言い換えて考えるとよい. 次の条件の否定を述べよ.\ $x,\ y,\ z$は実数,\ $m$は整数とする. ll} $10$  適当な自然数$a,\ b$について $a²+b²=13²$ 否定:「${ある素数は偶数である}$」 {  }素数2は偶数}であるから,\ 元の命題は偽,\ 否定は真}である. 否定:「${すべての実数xについて x²+10}$」 {  }常に$x²0$}であるから,\ 元の命題は偽,\ 否定は真}である. 否定:「${ある実数x,\ yについて x²+y²0}$」 {  }$x=y=0のときx²+y²=0$}であるから,\ 元の命題は偽,\ 否定は真}である. 否定:「${すべての自然数a,\ bについて a²+b²13²}$」 {  }$5²+12²=13²$}であるから,\ 元の命題は真,\ 否定は偽}である. $[l} 「すべて」の否定なので「ある」としたが,\ 次のように答えた方がわかりやすいかもしれない. {「少なくとも1つの素数は偶数である」「偶数である素数が存在する」} {元の命題と否定の真偽は必ず異なる}から,\ 一方のみ考えればよい. 念のため確認すると,\ 素数の定義は2個の正の約数(1と自分自身)をもつ自然数である. {「少なくとも1組の実数x,\ yについてx²+y²0」}や, {「x²+y²0となる実数x,\ yが存在する」}としてもよい. 「適当な自然数a,\ b」は,\ 「少なくとも1組の自然数a,\ b」を意味する. 三平方の定理a²+b²=c²を満たす自然数として,\ 次の2組は常識である. (a,\ b,\ c)=(3,\ 4,\ 5),\ (5,\ 12,\ 13)
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