同値変形演習12題

当ページの内容は前ページの同値変形の暗記を前提としています。

x,\ y$を実数とする.\ 条件$p,\ q$が同値であることを示せ.   $p:「x>1かつy>1」$ $q:「x+y>2かつ(x-1)(y-1)>0」$   $p:「xy+1=x+y」$ $q:「x,\ yの少なくとも一方が1」$   $p:「x²+y²=2(x+y-1)」$ $q:「x=y=1」$   $p:「x=y=0」$ $q:「x²-xy+y²=0」$   $p:「x>y」$ $q:「x³>y³」$   $p:「x²+y²+z²+xy+yz+zx=0」$ $q:「x=y=z=0」$   $p:「x²+y²+z²-xy-yz-zx=0」$ $q:「x=y=z」$   $p:「x0」$ $q:「{x²}=x」$   $p:「x+y}=x-y}」$ $q:「xy=0」$  (0.6}{10}) $p:「x+y}= x+ y」$ $q:「xy0」$  (0.6}{11}) $p:「x+y}< x+ y」$ $q:「xy<0」$  (0.6}{12}) $p:「xy<0」$ $q:「 xy+ yx<0」$ [-.8zh] {\Large 同値変形演習  頻出の同値変形の問題演習を行う.  他分野でも頻繁に行うので,\ 単に必要十分条件の問題の演習とは思わないでほしい.  ${x>1かつy>1}x-1>0かつy-1>0}$ { }$x>1かつy>1(x-1)+(y-1)>0かつ(x-1)(y-1)>0}$ { }$x>1かつy>1{x+y>2かつ(x-1)(y-1)>0}$ {X>0かつY>0X+Y>0かつXY>0}\ を利用する. 注意すべきは,\ この同値性は{右辺が0でなければ成り立たない}ことである. よって,\ 単純に\ X>1かつY>1X+Y>2かつXY>1\ などとするのは誤りである. そこで,\ 一旦右辺が0になるように変形してから適用したわけである.\ X=x-1,\ Y=y-1. 実際の問題ではpとqが同値とは書いてないので,\ 同値と予想して同値変形してみる必要がある. 経験を重ね,\ 頻出のものは見た瞬間にたぶん同値だろうと思えるくらいになっていることが望ましい. 同値なのでp→q,\ q→pのどちら向きに変形していってもよいが,\ 本問はp→qが自然だろう. }]$ ${xy+1=x+y}xy-x-y+1=0(x-1)(y-1)=0}$ { }$xy+1=x+yx-1=0またはy-1=0}x=1またはy=1$ { }$xy+1=x+y{x,\ yの少なくとも一方が1}$ $[l} 方程式・不等式では,\ {一方の辺を0にすると本質が見えてくる}ことが多い. その後,\ {因数分解}に気付き,\ さらに{XY=0X=0またはY=0}\ を利用する. 本問ではp→qの流れが自然だが,\ 他分野ではq→pの流れで変形する必要が生じることもある. つまり,\ x,\ yの少なくとも一方が1と聞いて,\ xy-x-y+1=0が成り立つと思えねばならない. }]$ ${x²+y²=2(x+y-1)}x²-2x+y²-2y+2=0$ { }$x²+y²=2(x+y-1)(x-1)²+(y-1)²=0}$ { }$x²+y²=2(x+y-1)x-1=0かつy-1=0}{x=y=1}$ $[l} 2次式では,\ 因数分解できない場合は平方完成してみることが重要である. 本問は,\ {xとyのそれぞれで平方完成する}ことができる. その後,\ {X²+Y²=0X=0かつY=0}\ を利用する.\ X=x-1,\ Y=y-1. ${x²-xy+y²=0}(x- y2)²+34y²=0}$ { }$x²-xy+y²=0x- y2=0かつy=0}{x=y=0}$ $[l} 因数分解できないので平方完成を考えるが,\ xyのせいでxとyのそれぞれでの平方完成ができない. そこで,\ {1文字の式とみて平方完成する}.\ ここでは,\ xの2次式とみて平方完成した. その後,\ {X²+Y²=0X=0かつY=0}\ を利用する.\ X=x- y2,\ Y=y. }]$ ${x³>y³}$ $\ x³-y³>0(x-y)(x²+xy+y²)>0}$ $$\ 0.95}{$(x-y>0かつx²+xy+y²>0)または(x-y<0かつx²+xy+y²<0)}$}    $\ x>yかつx=y=0でない{x>y}$ $[l} 因数分解後,\ {XY>0(X>0\ かつ\ Y>0)\ または\ (X<0\ かつ\ Y<0)}\ を用いる. ここで,\ 常にx²+xy+y²=(x+ y2)²+34y²0である(2乗の和なので). よって,\ x²+xy+y²<0を満たすx,\ yは存在しない. また,\ x²+xy+y²=0となるのは,\ x+ y2=0\ かつ\ y=0,\ つまりx=y=0のときのみである. よって,\ 「x²+xy+y²>0x=y=0でない」である. x>yが成り立つならば自動的にx=y=0でないも成り立つから,\ 結局x>yのみで済む. x>yx²>y²は,\ x0かつy0のときに成り立つのであった. 一方,\ 何の前提条件もなく,\ 常に\ x>yx³>y³が成り立つことが示されたわけである. ${x²+y²+z²+xy+yz+zx=0}$ $ \ 2x²+2y²+2z²+2xy+2yz+2zx=0$   [$両辺を2倍した}$]} $ \ (x²+2xy+y²)+(y²+2yz+z²)+(z²+2zx+x²)=0$ $ \ (x+y)²+(y+z)²+(z+x)²=0}$ $ \ x+y=0かつy+z=0かつz+x=0}$   [$普通の連立方程式}$]} $ \ {x=y=z=0}$ ${x²+y²+z²+xy+yz+zx=0}$ $ \ (x+{y+z}{2})²+34(y+13z)²+23z²=0}$ $ \ x+{y+z}{2}=0かつy+13z=0かつz=0}$ $ \ {x=y=z=0}$ $[l} 因数分解できないので1文字の式とみて平方完成するのが自然な発想である(別解). 3文字あるので,\ まずxの式とみて平方完成し,\ その後さらにyの式とみて平方完成することになる. x²+(y+z)x+y²+yz+z²=(x+{y+z}{2})²-({y+z}{2})²+y²+yz+z² {x²+(y+z)x+y²+yz+z²}=(x+{y+z}{2})²+34y²+12yz+34z² {x²+(y+z)x+y²+yz+z²}=(x+{y+z}{2})²+34(y+13z)²-34(13z)²+34z² 後は,\ {X²+Y²+Z²=0X=0かつY=0かつZ=0}\ を利用する. 実は,\ {本問は超頻出であり,\ 本解のように同値変形するのが普通である.\ 必ず習得しておくこと.} }]$ ${x²+y²+z²-xy-yz-zx=0}$ $ \ 2x²+2y²+2z²-2xy-2yz-2zx=0$   [$両辺を2倍した}$]} $ \ (x²-2xy+y²)+(y²-2yz+z²)+(z²-2zx+x²)=0$ $ \ (x-y)²+(y-z)²+(z-x)²=0}$ $ \ x-y=0かつy-z=0かつz-x=0}$ $ \ {x=y=z}$ ${x²+y²+z²-xy-yz-zx=0}$ $ \ (x-{y+z}{2})²+34(y-z)²=0}x-{y+z}{2}=0かつy-z=0}$ $ \ {x=y=z}$ $[l} x²-(y+z)x+y²-yz+z²=(x-{y+z}{2})²-({y+z}{2})²+y²-yz+z² {x²+(y+z)x+y²+yz+z²}=(x-{y+z}{2})²+34y²-32yz+34z² {x²+(y+z)x+y²+yz+z²}=(x-{y+z}{2})²+34(y-z)² }]$ $x²}=x} x=x}{x0}$ $[l} 一般に,\ 2乗の根号をはずすと絶対値がつくのであった.\ 安易に{x²}=xとしてはならない. その後,\ { x=xx0}\ を利用する. }]$ ${x+y}=x-yx+y=x-yまたはx+y=-(x-y)}$ { }$x+y}=x-y\ }\ y=0またはx=0{xy=0}$ ${x+y}=x-yx+y}²=x-y}²}(x+y)²=(x-y)²$ { }$x+y}=x-y\ }\ x²+2xy+y²=x²-2xy+y²{xy=0}$ $[l} { X= YX=Y}\ を利用する. さらに,\ {xy=0x=0またはy=0}\ も利用する. 別解は,\ {2乗すると絶対値がはずれる}ことを利用したものである. つまり,\ {X0かつY0のとき}X=YX²=Y²}\ を利用する. 絶対値がついているならば常に0以上であるから,\ これを適用できるわけである. }]$ ${x+y}= x+ y}x+y}²=( x+ y)²}$ { }$x+y}= x+ y}\ }\ (x+y)²= x²+2 x y+y}²$ { }$x+y}= x+ y}\ }\ x²+2xy+y²=x²+2xy}+y²$ { }$x+y}= x+ y}\ }\ xy=xy{xy0}$ $[l} 右辺は全体に絶対値がついているわけではないので,\ X= YX=Yは適用できない. 2乗によって絶対値をはずして整理した後,\ { X=XX0}\ を利用する. }]$ (11)${x+y}< x+ y}x+y}²<( x+ y)²}$ { }$x+y}= x+ y}\ }\ (x+y)²< x²+2 x y+y}²$ { }$x+y}= x+ y}\ }\ x²+2xy+y²<x²+2xy}+y²$ { }$x+y}= x+ y}\ }\ xy<xy{xy<0}$ $[l} {X0かつY0のとき}X<YX²<Y²}\ と\ { X>XX<0}\ を利用する. }]$ (12)${ xy+ yx<0}{x²+y²}{xy}<0(x²+y²)xy<0}$ { (12)}$ xy+ yx<0}\ }\ $.95}{$(x²+y²>0かつxy<0)または(x²+y²<0かつxy>0)}$} { (12)}$ xy+ yx<0}\ }\ x=y=0でないかつxy<0{xy<0}$ $[l} {分数の和は通分してみる}のが同値変形の基本である. その後,\ { XY<0XY<0}\ を利用する. (X=x²+y²,\ Y=xy) さらに,\ {XY<0(X>0かつY<0)または(X<0かつY>0)}\ を利用する.

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