必要条件と十分条件の問題演習④(整数の性質)

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x,\ yを実数,\ m,\ nを自然数とする.${  }\ に次のいずれかを入れよ.  \nagamaru1\ 「必要十分条件である」  \nagamaru2\ 「必要条件であるが十分条件ではない」  \nagamaru3\ 「十分条件であるが必要条件ではない」  \nagamaru4\ 「必要条件でも十分条件でもない」 $nが奇数であることは,\ nが素数であるための\ {  }$ $xとyがともに整数であることは,\ x+yとxyがともに整数であるための\ {  }$ $nが12の倍数かつ18の倍数であることは,\ nが6の倍数であるための\ {  }$ $nが2の倍数かつ3の倍数でないことは,\ nが6の倍数でないための\ {  }$ $n²が2の倍数であることは,\ nが2の倍数であるための\ {  }$ $n²が4の倍数であることは,\ nが4の倍数であるための\ {  }$ $m²がnの倍数であることは,\ m²がn²の倍数であるための\ {  }$ $n²を7で割ると1余ることは,\ nを7で割ると1余るための\ {  }$ $n²を4で割ると1余ることは,\ nを2で割ると1余るための\ {  }$ (0.6}{10})$mnが奇数であることは,\ m²+n²が偶数であるための\ {  }$ (0.6}{11}).97}{$mとnがともに偶数であることは,\ m+nとmnがともに偶数であるための\ {  }$} (0.6}{12})$整数a,\ bについて,\ a²+b²1は,\ a+ b1であるための\ {  }$ {必要条件と十分条件の問題演習 $nが奇数$\ -.2zh}{$ {2}{$leftarrows$ ×\limits_ ×}$}\ $nが素数    {\nagamaru4\ どちらでもない}$ の反例:n=1,\ 9など.    の反例:n=2のみ.\ 2が唯一の偶素数は常識だろう. の反例:x=2,\ y=-2\ (覚えておくべき反例) 12の倍数かつ18の倍数36の倍数6の倍数 の反例:n=6,\ 12,\ 18など. まず,\ {「でない」は直前の言葉のみにかかる}ことに注意する. 題意は「(2の倍数かつ3の倍数)でない」ではなく,\ 「2の倍数かつ(3の倍数でない)」である. 3の倍数でないものが6の倍数になるはずはないので,\ は当然成り立つ. の反例:n=1,\ 3,\ 5,\ 7など. {整数の集合は,\ 具体的に要素を書き出して包含関係を見てみる}ことも有効である. 2の倍数かつ3の倍数でない自然数:2,\ 4,\ 8,\ 10,\ 14,\ 16,\ 20,\ 6の倍数でない自然数:1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 13,\ 14,\ 15,\ 16,\ 17,\ 19,\ 20,\ の対偶「nが2の倍数でない(奇数)n²が2の倍数でない(奇数)」を証明する. n=2k-1\ (k:自然数)とすると,\ n²=(2k-1)²=4k²-4k+1=2(2k²-2k)+1=(奇数) の証明:n=2k\ (k:自然数)とすると,\ n²=2(2k²)=(2の倍数) n=2k+1\ (k:自然数)とするとn=3,\ 5,を意味してしまうので,\ n=2k-1とした. nは自然数という大前提があるので,\ n=2などを反例と考えないように. の反例:n=6,\ 10など,\ 4の倍数でない偶数. nが4の倍数でなくても,\ nが偶数でさえあれば2乗すると2²=4の倍数になるわけである. の証明:n=4k\ (k:自然数)とすると,\ n²=4(4k²)=(4の倍数) の反例:n=6,\ 13,\ 20など,\ 7で割ると6余る自然数. の証明:n=7k-6\ (k:自然数)とする. n²=(7k-6)²=49k²-84k+36=7(7k²-12k+5)+1=(7で割ると1余る自然数) {7で割ると1余る自然数には1も含まれる}ことに注意する(17=01). n=7k+1\ (k:自然数)とするとn=8,\ 15,を意味してしまうので,\ n=7k-6とした. 数A}の整数分野を学習済みならば,\ 以下のように考えることが可能になる. \mod7  つまり,\ 「{n²を7で割ると1余るnを7で割ると1または6余る}」である. の対偶「nが2で割りきれるn²を4で割ると1余る数ではない」を証明する. n=2k\ (k:自然数)とすると,\ n²=4k²=(4で割り切れる) の証明:n=2k-1\ (k:自然数)とする. n²=(2k-1)²=4k²-4k+1=4(k²-k)+1=(4で割ると1余る自然数) \mod4  つまり,\ 「{n²を4で割ると1余るnを4で割ると1または3余る奇数}」である. 同様に,\ 「{n²が4で割り切れるnを4で割ると0または2余る偶数}」もわかる. の証明:mnが奇数mとnがともに奇数 m=2k-1,\ n=2l-1\ (k,\ l:自然数)とおける. m²+n²=(2k-1)²+(2l-1)²=2(2k²-2k+2l²-2l+1)=(偶数) の反例:m=2,\ n=2など,\ mとnがともに偶数の組み合わせ. (11) の証明:m=2k,\ n=2l\ (k,\ l:自然数)とおく. m+n=2(k+l)=(偶数),\ mn=2(2kl)=(偶数) の証明:mnが偶数(m,\ n)=(偶数,\ 偶数),\ (偶数,\ 奇数),\ (奇数,\ 偶数) このうち,\ m+nも偶数となるのは(m,\ n)=(偶数,\ 偶数)の場合のみ. (12)領域を用いて図形的に考える.\ a²+b²1は円の内部,\ a+ b1は正方形の内部を表す. 整数a,\ bは図形的には格子点である. どちらの領域も,\ (a,\ b)=(0,\ 0),\ (1,\ 0),\ (0,\ 1),\ (-1,\ 0),\ (0,\ -1)であるとわかる.
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