共通要素から集合の要素の決定

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整数を要素とする2つの集合$A,\ B$を$A={2,\ 5,\ a²},\ B={4,\ a-1,\ a+b,\ 9}$と するとき,\ $A B={5,\ 9}$となるような定数$a,\ b$の値を求めよ.   \ [広島修道大] 共通要素から集合の要素の決定 $a²=9}$が必要}であるから $a=3}$ $a=3}$のとき  $A={2},\ 5,\ 9, B={2},\ 4,\ 9},\ 3+b}$ { }{$a=3$のとき}  2も共通要素になるので条件を満たさない. $a=-3}$のとき $A={2,\ 5,\ 9, B={-4,\ 4,\ 9},\ b-3}$ { }{$a=3$のとき}  $b-3=5}$ より $b=8$ $,\ より {a=-3,b=8}$} $[l} AとBの要素を比較し,\ {必要条件から攻める}(最低限必要な条件から考える). Aはすでに5を要素にもつことが確定しているので,\ a²が9でなければならないことがわかる. 逆に,\ Bのa-1またはa+bが5でなければならないこともいえるが,\ こちらは処理が面倒である. a²=9から先に処理するとaの値の候補が求まるので,\ 実際に代入して十分性を確認する. U={x|xは実数}$を全体集合とする. $U$の部分集合$A={2,\ 4,\ a²+1},\ B={4,\ a+7,\ a²-4a+5}$について, $A B={2,\ 5}$となるように定数$a$の値を定めよ.         [富山県立大] a²+1=5}$が必要}であるから $a=2}$ $a=2}$のとき  $A={2,\ 4},\ 5},B={1,\ 4},\ 9}$ { }{$a=3$のとき}  $A B={2,\ 5}$より,\ 条件を満たす. $a=-2}$のとき $A={2,\ 4},\ 5,B={4},\ 5},\ 17}$ { }{$a=3$のとき}  $A B={2}$より,\ 条件を満たさない. $,\ より {a=2}$} }$x$についての2次方程式$x²+(3-a)x-3a=0\ $,$x²-(b+1)x+b=0\ $, $x²-(2a+5b)x+10ab=0\ $があり,\ ,\ ,\ の解の集合を$P,\ Q,\ R$とする. 集合$P Q R$がただ1つの負の数からなるときの$a,\ b$の値を求めよ. [京都女子大] $P={-3,\ a}, Q={1,\ b}, R={2a,\ 5b}$ $b$が共通するただ1つの負数であることが必要}である. $b=-3}$のとき $P={-3},\ a}, Q={1,\ -3, R={2a,\ -15}$ { }{$b=-3}$のとき} $2a=-3$が必要}であるから $a=-32}$ { }{$b=-3}$のとき} このとき $P={-3},\ -32}, Q={1,\ -3, R={-3},\ -15}$ { }{$b=-3}$のとき} よって,\ 条件を満たす. $b=a}$のとき  $P={-3,\ a, Q={1,\ a, R={2a,\ 5a}$ { $b=a}$のとき}  $a=2a$としても$a=5a$としても$a=0$となり,\ 条件を満たさない. x²+(3-a)x-3a=0(x+3)(x-a)=0x=-3,\ a x²-(b+1)x+b=0(x-1)(x-b)=0x=1,\ b x²-(2a+5b)x+10ab=0(x-2a)(x-5b)=0x=2a,\ 5b まずQに着目すると,\ bが共通するただ1つの負の数でなければならないことがわかる. Pの-3が共通するただ1つの負の数だと安易に断定してはならない. aの方が共通するただ1つの負の数となる可能性もありえるからである. 結局,\ 両方の場合を考慮することになる. b=aを代入すると,\ aがPとQの共通要素であるとわかる. これがRとも共通であるためには,\ a=2aまたはa=5aであることが必要である. しかし,\ どちらにしてもa=0となってしまい,\ 問題の条件を満たさなくなる. 集合$A,\ B$を$A={1,\ 4,\ 2a+1,\ a²},\ B={9,\ b,\ b-3a}$において$A B$となると き,\ $a,\ b$の組み合わせをすべて求めよ.             [藤田保健衛生大] {$2a+1=9$または$a²=9$},\ つまり$a=4,\ 3}$が必要}である. $a=4}$のとき  $A={1,\ 4,\ 9},\ 16}, B={9},\ b,\ b-12}$   よって $b=16$ $a=3}$のとき  $A={1,\ 4,\ 7,\ 9, B={9},\ b,\ b-9}$   条件を満たさない. [3]$a=-3}$のとき $A={-5,\ 1,\ 4,\ 9, B={9},\ b,\ b+9}$   よって $b=-5$ $~[3]より {(a,\ b)=(4,\ 16),\ (-3,\ -5)}$} $[l} BがAの部分集合である.\ つまり,\ Bの要素はすべてAの要素でなければならない. よって,\ Bの要素である9がAの要素でなければならない. その条件を立式すると,\ aの候補が3個みつかる. 後はそれぞれのaのときについて,\ A Bとなるようにbを定めればよい. bとb-12は差が12であり,\ A={1,\ 4,\ 9,\ 16}から差が12の組を探してb=16と求まる. bとb-9は差が9であるが,\ A={1,\ 4,\ 7,\ 9}の中に差が9になる組は存在しない.
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