必要条件と十分条件の問題演習②(絶対値絡み)

x,\ yを実数とする.${  }\ に次のいずれかを入れよ.  \nagamaru1\ 「必要十分条件である」  \nagamaru2\ 「必要条件であるが十分条件ではない」  \nagamaru3\ 「十分条件であるが必要条件ではない」  \nagamaru4\ 「必要条件でも十分条件でもない」  $x-6}>2x-9}は,\ x=x-2であるための\ {  }$  $ x<1かつ y<1は,\ xy+1>x+yであるための\ {  }$  $x+y}=x-y}は,\ x=y=0であるための\ {  }$  $x+y}= x+ yは,\ x0かつy0であるための\ {  }$  $x+y}>x+yは,\ xy<0であるための\ {  }$  $ x+ y1は,\ x²+y²1であるための\ {  }$  $ x+ y1は,\ x+y}11変数の条件であるから,\ 普通に方程式・不等式を解けばよい. 絶対値は場合分けしてはずすのが基本だが,\ 本問は両辺を2乗すると場合分けせずに済む. 一般に,\ 絶対値は2乗するとはずれるからである.  X²=X² 絶対値は常に0以上なので,\ a0かつb0のとき}\ a>ba²>b²\ が使えるわけである. また,\ 一般に絶対値は2乗するとはずれるのであった. *a²-b²=(a+b)(a-b)を利用 このうち\ x=x-2を満たすのは x=4 最初の変形が ではなく であることに注意してほしい. 常に x0だが,\ 常にx-20ではないので,\ a=ba²=b²\ は成り立たない. 途中1つでも同値でない変形があると,\ x=x-2x=1,\ 4\ も成り立たなくなる. そこで,\ {x=1,\ 4をそれぞれ最初の式に代入して満たすかを確認した}わけである. の反例:x=-1,\ y=-1    の反例:x=2,\ y=-1 領域で考えてもよい.\ 斜線部分がx+y<0\ (y<-x)である. また,\ 色塗り部分が\ xy<0(x>0\ かつ\ y<0)\ または\ (x<0\ かつ\ y>0)\ である. ,\ 領域で考える.\ x+ y1が斜線部分の正方形を表すことは覚えておくべきである. {,\ }もう一方が色塗り部分.\
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