積分の一大目標は、図形の面積・体積・長さを求めることである。
数Ⅱでも学習したが、非常に基本的なものに限られていた。数Ⅲでは様々な関数が登場し、また単純な積分計算では済まない複雑な図形も登場する。
「微小部分を足し合わせる」という積分本来の考え方を理解して適切に公式を適用する、複雑で膨大な計算を素早く正確に実行するといった能力が要求されることになる。
当カテゴリでは、図形の面積・体積・長さに関するパターンを網羅する。当サイトで根本的な考え方を学習した上で、必要ならば問題集で多くの問題演習を行ってほしい。
当カテゴリは、以下の2点を前提としている。
- 微分してグラフが描ける(そもそもグラフが描けないとどこの面積・体積・長さかが判断できない)
- 積分計算ができる
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当カテゴリ内記事一覧
- 区分求積法と微分積分学の基本定理、面積が定積分で求まる理由
- 面積の基本①（x軸方向への定積分）
- 面積の基本②（y軸方向への定積分）
- 接線と面積, 接する2曲線と面積
- 曲線xa＋yb＝1の面積とベータ関数B(p,q)
- 交点が求まらない面積による2等分（等積条件）
- 減衰曲線の面積の和の極限 limΣ∫|e-xsinx|dx
- 双曲線の面積、三角関数(円関数)と双曲線関数
- 媒介変数表示で表される曲線で囲まれた部分の面積（リサジュー曲線）
- 極方程式で表された関数の面積（扇形分割積分） 正葉曲線r=sin2θ
- 非回転体の体積（円柱の切断）
- x軸周りの回転体の体積 V=π∫y²dx
- 回転軸をまたぐ図形の回転体の体積
- x軸周りの回転体の体積（媒介変数表示）（リサジュー曲線）
- y軸周りの回転体の体積 V=π∫x²dy
- 円筒分割積分（バウムクーヘン分割積分） V=2π∫xf(x)dx
- 回転体の体積の裏技 パップス・ギュルダンの定理
- 斜軸回転体の体積（傘型分割積分、裏技公式）
- 不等式で表された立体の体積、直交する円柱の共通部分の体積
- 直線の回転体の体積（回転一葉双曲面）
- 平面図形の回転体の体積
- 曲線の長さ（媒介変数表示・陽関数表示・極座標表示）