マイケルソン干渉計に波長λの単色光を入射させる。光は半透鏡Gで2つに分けられ、互いに垂直な方向に進んで平面鏡M₁、M₂で反射した後、再びGに戻って重なり合う。
GからM₁、M₂までの距離をそれぞれl₁、l₂（l₁≧l₂）とする。l₁＝l₂のとき観測点では2つの光が強め合うものとする。空気の屈折率を1とする。
(1) 2つの光が強め合う条件と弱め合う条件をl₁、l₂、λ、0以上の整数mを用いて表せ。
(2) M₁を光軸に沿ってGから遠ざかる向きに距離xだけ移動させたところ、観測点において、強め合う状態から次の強め合う状態への変化がN回起こった。
x、N、λの間に成り立つ関係を求めよ。また、M₁を0.150 mm移動させたところ、この変化が500回起こった。光の波長λ［nm］を求めよ。
(3) M₁側の光路に、屈折率n、厚さdの透明な平行平面板を光に垂直に挿入する。
透明板を挿入する前と比べて光路差がどれだけ増加するかをn、dを用いて表せ。
このとき観測点における光の明暗がN周期変化したとして、Nをn、d、λを用いて表せ。波長600 nmの光を用い、厚さ0.120 mmの透明板を挿入したところ、200周期変化した。透明板の屈折率nを求めよ。
(4) l₁＝l₂の状態から、M₂を微小角αだけ傾けると、M₁側から戻る光とM₂側から戻る光の進行方向は約2αだけ異なり、等間隔の直線状の干渉縞が現れる。
隣り合う明線の間隔をΔxとするとき、α≪1として、sin 2α≒2αの近似を用い、Δxをλ、αを用いて表せ。
λ＝600 nmのとき、Δx＝1.50 mmであった。α［rad］を求めよ。
(5) 波長がわずかに異なる2つの単色光λ₁、λ₂（λ₁≒λ₂）を同時に入射させる。
2つの光路の光路差をδとするとき、波長λ₁、λ₂の光について、光路差δによって生じる位相差φ₁、φ₂を求めよ。また、2つの干渉縞の位相のずれ
Δφ＝|φ₁－φ₂|
をδ、λ₁、λ₂を用いて表せ。
M₁をゆっくり移動させると、2つの干渉縞が重なるため、干渉縞の鮮明さが周期的に大きくなったり小さくなったりする。鮮明さが極大となるM₁の位置のうち、隣り合う位置の間隔をΔlとする。λ₁、λ₂を用いてΔlを表せ。
さらに、λ₁≒λ₂≒λとして、2つの波長の差Δλ＝|λ₁－λ₂|をλ、Δlを用いて近似的に表せ。
λ＝600 nm、Δl＝0.300 mmのとき、Δλ［nm］を求めよ。
【解答】
(1)
M₁側の光はGとM₁の間を往復するから光路長は2l₁、M₂側では2l₂である。
よって、l₁≧l₂より、2つの光の光路差は
2(l₁－l₂)
である。
l₁＝l₂のとき2つの光は強め合うから、
強め合う条件
2(l₁－l₂)＝mλ
（m＝0, 1, 2, …）
弱め合う条件
2(l₁－l₂)＝(m＋1/2)λ
（m＝0, 1, 2, …）
［補足］
2つの光はそれぞれM₁、M₂で反射し、さらに半透鏡Gで反射または透過しているため、厳密には、強め合い・弱め合いの条件を考える際に、これらによる位相変化も考慮する必要がある。
しかし本問では、l₁＝l₂のとき2つの光が強め合うという条件が与えられている。
これは、光路差が0のとき、反射・透過によって生じる位相差まで含めた2つの光の位相差が2πの整数倍になっていることを意味している。
このように、反射・透過による個々の位相変化が明記されていない場合でも、強め合う基準状態（本問ではl₁＝l₂）が与えられていれば、そこからの光路差の変化で新たに生じる位相差のみ考えればよい。
(2)
M₁を距離x遠ざけると、光はM₁までを往復するため、光路差は2x増加する。
光路差がλ増加するごとに、観測点では明暗が1周期変化する。
よって、明暗がN周期変化するとき、
2x＝Nλ
よって、
x＝Nλ/2
また、
λ＝2x/N
＝(2×0.150×10⁻³)/500
＝6.00×10⁻⁷ m
＝600 nm
［補足］
強め合う条件は、
2(l₁－l₂)＝0, λ, 2λ, 3λ, …
である。
弱め合う条件は、
2(l₁－l₂)＝λ/2, 3λ/2, 5λ/2, …
である。
よって、光路差2(l₁－l₂)がλ増えるごとに、観測点では明暗が1周期変化する。
(3)
透明板を挿入すると、厚さdの部分の光路長はdからndに増加する。
光は透明板を往復して2回通過するから、光路差の増加量は
2(nd－d)＝2(n－1)d
である。
光路差がλ増加するごとに、観測点では明暗が1周期変化する。
よって、明暗がN周期変化するとき、
2(n－1)d＝Nλ
より、
N＝2(n－1)d/λ
また、
n＝1＋Nλ/(2d)
＝1＋(200×600×10⁻⁹)/(2×0.120×10⁻³)
＝1.50
(4)
検出器上の隣り合う明線の位置をP、Qとすると、
PQ＝Δx
である。
Qを通るM₂側の光線にPから垂線PHを下ろすと、
∠QPH＝2α
であるから、直角三角形PHQより、
HQ＝Δx sin 2α
隣り合う明線では光路差がλだけ異なるから、
Δx sin 2α＝λ
sin 2α≒2αより、
Δx＝λ/(sin 2α)≒λ/(2α)
よって、
α≒λ/(2Δx)
＝(600×10⁻⁹)/(2×1.50×10⁻³)
＝2.00×10⁻⁴ rad
［補足］
M₂をα傾けると、その法線もα傾く。
反射角は入射角に等しいから、M₂からの反射光の進行方向は、傾ける前に比べて2αだけ変化する。
よって、M₁側とM₂側から戻る2つの光の進行方向は2αだけ異なり、進行方向がわずかに異なる2つの平面波の干渉として考えることができる。
M₁で反射してP、Qに届く光は、検出器にほぼ垂直に届くため、P、Qに届く2本の光の光路長の差はほぼ0である。
一方、M₂で反射してP、Qに届く光では、Qに届く光の方がPに届く光よりも、
QH＝Δx sin 2α
だけ光路長が長い。
(5)
光路差δに対応する波長λ₁、λ₂の光の位相差はそれぞれ、
φ₁＝2πδ/λ₁
φ₂＝2πδ/λ₂
よって、2つの干渉縞の位相のずれは、
Δφ＝|φ₁－φ₂|
＝2πδ|1/λ₁－1/λ₂|
鮮明さが極大となる隣り合う状態では、この位相のずれが2πだけ変化する。
また、M₁をΔl移動させると光路差は2Δlだけ変化するから、
2π・2Δl|1/λ₁－1/λ₂|＝2π
したがって、
Δl＝1/{2|1/λ₁－1/λ₂|}
＝λ₁λ₂/{2|λ₁－λ₂|}
λ₁≒λ₂≒λ、Δλ＝|λ₁－λ₂|より、
Δl≒λ²/(2Δλ)
したがって、
Δλ≒λ²/(2Δl)
数値を代入すると、
Δλ≒(600×10⁻⁹)²/(2×0.300×10⁻³)
＝6.00×10⁻¹⁰ m
＝0.600 nm
［補足］
光の干渉の明暗を直接決めるのは、2つの光が重なるときの位相差である。
通常は位相差を光路差が波長の何倍かで表して考えるが、本問のように位相差を直接扱うこともある。
光路差が1波長λ増えることは、位相差では2π増えることに対応する。
光路差δに対応する位相差をφとすると、
λ：2π＝δ：φ
より、
φ＝2πδ/λ
例えば、光路差が0, λ, 2λ, …のとき、位相差は0, 2π, 4π, …となり、いずれも強め合う。
よって、隣り合う強め合う状態では、光路差はλ、位相差は2πだけ異なる。
