多数の細い隙間が等間隔に並んだ透過型回折格子Gに、波長λの単色光を垂直に入射させる。隣り合う隙間の間隔（格子定数）をdとする。
回折格子を透過した光を、Gから距離Lの位置に置いたスクリーン上で観測する。入射光の進行方向とスクリーンとの交点をOとし、Oからスクリーンに沿って測った距離をxとする。また、Oから見てx≧0側に現れる明線について考え、その方向が入射光の進行方向となす角をθとする。
ただし、隙間の幅は十分小さく、すべての隙間から出る光の振幅は等しいものとする。また、d, |x|≪Lとし、sinθ≒tanθを用いてよい。
(1) 角θの方向にm次の明線が現れる条件を求め、Oからm次の明線までの距離x_mをd, λ, L, mを用いて近似的に表せ。さらに、隣り合う明線の間隔Δxを求めよ。
(2) 波長600 nmの単色光を用いたとき、回折格子から1.50 m離れたスクリーン上では、Oから第2次の明線までの距離が18.0 cmであった。回折格子の格子定数dを求めよ。
(3) (2)で求めた回折格子に、波長600 nmの単色光を垂直に入射させる。このとき、観測可能な明線の最大次数を求めよ。また、0次の明線を含めて観測可能な明線は全部で何本あるか。ただし、この問いでは小角近似を用いず、|sinθ|≦1であることを利用せよ。
次に、入射光を白色光に変える。白色光に含まれる紫色光と赤色光の波長をそれぞれλ_V, λ_Rとする。
(4) m次のスペクトルにおいて、紫色光と赤色光が現れる位置をそれぞれx_V,m, x_R,mとする。x_V,m, x_R,mをd, L, m, λ_V, λ_Rを用いて表せ。また、m次のスペクトルにおける紫色光から赤色光までの幅をΔx_mとするとき、Δx_mを求め、(m+1)次のスペクトルの幅Δx_(m+1)との大小関係を示せ。
(5) 白色光に含まれる紫色光と赤色光の波長をそれぞれ450 nm, 650 nmとする。m次のスペクトルと(m+1)次のスペクトルが重ならないような正の整数mの最大値を求めよ。
【透過型回折格子】
透過型回折格子
ガラス板の片面に等間隔で多数の細い溝を刻んだもの。隣り合う溝の間隔を格子定数という。
溝と溝の間の平らな部分が多数のスリットとしてはたらき、通過した光が回折して干渉する。
溝の部分に当たった光は乱反射（散乱）するため、直進して透過しない。
基本原理は、ヤングの干渉実験（2スリット干渉）と同じである。
【解答】
(1)
L≫dより、Pに向かう2本の光線はほぼ平行とみなせる。
L≫xより、θは十分小さい。
明線条件
d sinθ = mλ （m=0, 1, 2, …）
θ≪1より、
sinθ≒tanθ=x/L
m次の明線の位置
x_m≒mλL/d
隣り合う明線の間隔は
Δx
= x_(m+1) – x_m
= (m+1)λL/d – mλL/d
= λL/d
ヤングの干渉実験と全く同様であり、簡便法を用いて求めればよい。2本の光線はほぼ平行とみなせるので、隣り合う2つの隙間からPまでの距離の差（光路差）はd sinθと近似できる。
(2)
(1)の
x_m≒mλL/d
より、
d≒mλL/x_m
= 2×600×10⁻⁹×1.50/(18.0×10⁻²)
= 1.00×10⁻⁵ m
これは1 cmあたり1000本に相当する。
(3)
明線条件
d sinθ = mλ
より、
sinθ = mλ/d
x>0側では
0≦sinθ≦1
であるから、
m≦d/λ
= (1.00×10⁻⁵)/(600×10⁻⁹)
= 16.6…
mは整数であるから、観測可能な明線の最大次数は
16次
である。
明線は0次を中心として左右対称に現れるから、−16次から16次まで存在する。
観測可能な明線の総数は
16+1+16=33本
である。
ヤングの干渉実験では、例えばd=0.50 mm, λ=600 nmとすると、d/λ≒830となる。このように通常はd/λが非常に大きいため、観測可能な次数の上限を意識する必要はほとんどない。
一方、回折格子ではd=10 μm程度と小さく、同じ波長ではd/λ≒17となるため、上限が問題となる。
(4)
(1)より、波長λの光のm次の明線の位置は
x_m≒mλL/d
であるから、
m次の紫色光の位置
x_V,m≒mλ_VL/d
m次の赤色光の位置
x_R,m≒mλ_RL/d
λ_V<λ_Rより、
x_V,mΔx_m
となる。
紫色光よりも赤色光のほうが波長が長いから、λ_V<λ_Rである。
Δx_m=mL(λ_R-λ_V)/dより、m次のスペクトルの幅は1次のスペクトルのm倍となる。例えば、2次のスペクトルの幅は1次の2倍となる。
Oでは光路差が0であり、すべての波長の光が強め合うから、白色の明線となる。
(5)
m次と(m+1)次のスペクトルが重ならないためには、m次の赤色光よりも(m+1)次の紫色光がOから遠い位置にあればよい。
したがって、
x_R,m < x_V,m+1
より、
mλ_RL/d < (m+1)λ_VL/d
よって、
mλ_R < (m+1)λ_V
数値を代入すると、
m×650×10⁻⁹ < (m+1)×450×10⁻⁹
より、
m<2.25
mは正の整数であるから、求める最大値は
m=2
である。
本問の波長設定では、1次と2次、2次と3次のスペクトルは重ならないが、3次以降では隣り合う次数のスペクトルが重なり、次数ごとのスペクトルを明瞭に区別しにくくなる。
