点(7,\ 1)から円\ x^2+y^2=25\ に引いた接線の方程式を求めよ.$ \\
円外の点から引いた接線の方程式
「点Aにおける接線}」ではなく,\ 「点Aから引いた接線}」である}ことに注意する.
要は,\ 「点Aが接点である}」か「点Aが接点ではない}」かの違い}である.
接線の公式の利用が圧倒的に簡潔だが,\ 3つの解法を示した.
問題で誘導されることも想定し,\ すべて習得しておくことが望ましい.
$[1]$\ \ [\,接線の方程式の公式}\,]
$[3]$}\ 接点の座標を$(s,\ t)}$とおく.
$[3]$}\ 接線の方程式は $(s,\ t)は円x^2+y^2=25上の点であるから
接点が不明な接線の問題では,\ 最初に接点を文字で設定する}のが基本である.
すると,\ 接線の方程式の公式が利用できるようになる.
後は,\ 接線が(7,\ 1)を通る条件と接点が円周上にある条件を立式して連立}すればよい.
円外の点から引ける接線は2本存在するので,\ 2組の接点(s,\ t)が求まるはずである.
簡潔であることに加え,\ 接線の方程式を求める過程で接点も求まる}というメリットがある.
なお,\ 中心と接点を結ぶ線分および2本の接線で囲まれた部分は正方形}となる.
{\,$(中心と直線の距離)=(円の半径)$}\,点(7,\ 1)から引いた接線はx軸に垂直ではない$から,\ $y-1=m(x-7)$とおける.
$[3]$}\ つまり $mx-y-7m+1=0} ･･････\,①$
$[3]$}\ 円の中心$(0,\ 0)と直線①との距離が円の半径と等しいから$
$[3]$}\ 両辺を2乗して $(-\,7m+1)^2=25(m^2+1)$ [\,両辺が0以上なので2乗しても同値}\,]}
直線を基本形y=mx+nで設定するとき,\ x軸に垂直な直線の場合分けを要する.}
x軸に垂直な直線には傾きが存在しないからである.
本問の場合は接線がx軸と垂直にある可能性はないから,\ それを確認した上で基本形で設定する.
中心と直線の距離を点と距離の公式で求め,\ 半径と一致するようにmの値を定めればよい.
点(x_1,\ y_1)と直線ax_1+by_1+c=0の距離 ax_1+by_1+c{√{a^2+b^2
接する$\ ⇔\ $重解}\,{点(7,\ 1)から引いた接線はx軸に垂直ではない$から,\ $y-1=m(x-7)$とおける.
$[3]$}\ ①を円の方程式に代入すると $x^2+(mx-7m+1)^2=25$
$[3]$}\ ②の判別式をDとする. \D=0}\ より
接点の座標を求めたい場合,\ mの値を②に代入して解く必要はなく,\ 以下のようにする.
2次方程式\ ax^2+bx+c=0\ の解は x=-\,b±√{b^2-4ac{2a}
D=b^2-4ac=0\ のとき 重解\ x=-b}{2a
