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p=\bunsuu{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2},\ \ q=\bunsuu{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2}\ とする.$ \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $p^2-q^2=1\ が成立することを示せ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $双曲線x^2-y^2=1上に点\mathRM{A}(1,\ 0)と点\mathRM{P}(p,\ q)\ (p\geqq1,\ q\geqq0)がある.\ $ \\[.2zh] \hspace{.5zw}   $原点を\mathRM{O}とするとき,\ 双曲線と線分\mathRM{OA}と線分\mathRM{OP}で囲まれた部分の面積Sを$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}   $\theta\,で表せ.$ \\ (1)は普通に計算するだけであるが,\ 次の意味合いに留意しておくこと. \\[.5zh] \bm{双曲線\ x^2-y^2=1\ の媒介変数表示}が\ (x,\ y)=(p,\ q)=\left(\bunsuu{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2},\ \bunsuu{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2}\right)\ である. \\\\ 一般に,\ \bunsuu{x^2}{a^2}-\bunsuu{y^2}{b^2}=1\ は,\ 原点中心,\ 頂点(a,\ 0),\ 漸近線\ \bunsuu xa\pm\bunsuu yb=1\ の双曲線である. \\[.8zh] x^2-y^2=1\ のときa=b=1であるから,\ 頂点(1,\ 0),\ 漸近線\,y=\pm\,x\ の双曲線となる. \\[.2zh] 条件p\geqq1,\ q\geqq0\,より点\mathRM{P}は第1象限にあるから,\ 求める面積Sは図のようになる. \\[.2zh] これを求めるには,\ \bm{\triangle\mathRM{OAP}の面積から斜線部分を引く}ことになる. \\[.2zh] 双曲線の面積を求めるときに現れる\ \dint{}{}\ruizyoukon{x^2-1}\,dx\ は高難度の積分の代表である. \\[.5zh] ここで,\ \dint{}{}\ruizyoukon{1-x^2}\,dx\ を計算するとき,\ x=\sin\theta\ と置換するのであった. \\[.8zh] これは\ y=\ruizyoukon{1-x^2}\ (円\,x^2+y^2=1)の媒介変数表示\ (x,\ y)=(\cos\theta,\ \sin\theta)\ と関係する. \\[.5zh] そこで,\ y=\ruizyoukon{x^2-1}\ (双曲線\,x^2-y^2=1)の積分でも\bm{媒介変数表示を利用}することが思い浮かぶ. \\[.2zh] つまり,\ \bm{x=p=\bunsuu{e^t+e^{-t}}{2}\ とおいて置換積分}する. \\[.8zh] x=2のとき 2=e^t+e^{-t}=e^t+\bunsuu{1}{e^t} e^{2t}-2e^t+1=0 (e^t-1)^2=0 e^t=1 t=0 \\[.5zh] x=pのとき,\ p=\bunsuu{e^{t}+e^{-t}}{2}=\bunsuu{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}\ より,\ t=\theta\ である. \\[.8zh] ここでは積分変数にも積分区間にも\,\theta\,があると紛らわしいのでtにしたが,\ 本質的な意味合いはない. \\[.5zh] \left(\bunsuu{e^t+e^{-t}}{2}\right)^2-1=\bunsuu{e^{2t}+2+e^{-2t}}{4}-\bunsuu44=\bunsuu{e^{2t}-2+e^{-2t}}{4}=\bunsuu{(e^t-e^{-t})^2}{4} x+\ruizyoukon{x^2-1}=t\ とおくことにより,\ \dint{}{}\ruizyoukon{x^2-1}\,dx\ を求めよ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $曲線x^2-y^2=1上に点\mathRM{P}(p,\ q)と点\mathRM{A}(1,\ 0)がある.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}  $2線分\mathRM{OA,\ OP}とこの曲線で囲まれる図形の面積Sをpの式で表せ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ $(2)のSを\,\bunsuu{\theta}{2}\,とおくとき,\ p,\ qを\,\theta\,の式で表せ.          \ \ [秋田大]$ \\ 両辺を2乗す:積分定数) 置換の誘導があるが,\ 他の置換積分と同様に計算しようとすると結構大変である. \\[.2zh] 上のように処理するとかなり簡潔に済むが,\ 経験が必要だろう. \\[1zh] まずx=の形に変形する.\ 後の計算を見越して2つの分数に分割する. \\[.2zh] \ruizyoukon{x^2-1}\ はt-xとすると,\ 容易に\ \ruizyoukon{x^2-1}=\bunsuu12\left(t-\bunsuu1t\right)\ が導かれる. \\[.8zh] 普通に積分した後,\ 整理して\ t^2-\bunsuu{1}{t^2}\ の形を作る. \\[.8zh] 因数分解するとxと\ \ruizyoukon{x^2-1}\ の形になることを利用するためである. 絶対値ははずせる. 前問は媒介変数表示から面積を求める問題であった. \\[.2zh] 本問は逆に\bm{面積から媒介変数表示を求める}問題だったわけである. 三角関数(円関数)と双曲線関数の比較}} \\[.5zh]   大学では以上の$p,\ q$を次のように表し,\ これを\textbf{\textcolor{blue}{双曲線関数}}という.   双曲線関数は,\ 三角関数(円関数)と類似した性質をもつ(以下に紹介). 双曲線関数の知識は必須ではないが,\ 背景知識としてもっておくことが好ましい. \\[.2zh] といってもこの表を覚える必要は全くなく,\ 「ふ~ん」という程度でよい. \\[.2zh] \cosh\theta\ は\ 「ハイパーボリックコサイン(\text{hyperbolic:双曲的な})」と読む. \\[1zh] \cos\theta,\ \sin\theta\ の指数表示は大学の範囲である.\ 次の2式を連立して導かれる. \\[.2zh] オイラーの公式\ e^{i\theta}=\cos\theta+i\,\sin\theta\ と,\ \,\theta\,→\,-\,\theta\ とした\ e^{-i\theta}=\cos\theta-i\,\sin\theta \\[.2zh] 結局,\ \cosh\theta=\cos i\theta,\ \ i\sinh\theta=\sin i\theta\ のように虚数を仲立ちとして互いに結びついている. \\[1zh] 円の場合は面積\,\bunsuu{\theta}{2}\,の角度が\,\theta\,だが,\ 双曲線の場合は\,\bm{\theta\,ではない}ので注意!