(3)の答えは2√3π/3の誤りですm(_ _)m

検索用コード
次の曲線または直線で囲まれた部分の面積$S$を求めよ. の共通部分$ \\  (1)\ \ いずれの関数も原点対称であるから,\ 求める面積も\textcolor{cyan}{原点対称}である. \\[1zh]   数\text{I\hspace{-.1em}I}と同様,\ まず図示して求める面積を確認する. \\[.2zh] 面積を求める上で重要なのは\bm{共有点と上下関係}だけである. \\[.2zh] 特別な場合を除き,\ 頂点や極値などを求める必要はない.\ 最低限の情報を確認し,\ 素早く図示する. \\[.2zh] 本問は中学レベルの関数なので,\ 共有点の座標を求めることも含め,\ 30秒ほどで図示したい. \\[1zh] 後は面積を計算するだけだが,\ 一般に数\text{I\hspace{-.1em}I\hspace{-.1em}I}の面積計算は数\text{I\hspace{-.1em}I}よりもはるかに大変である. \\[.2zh] \bm{「対称性・周期性の利用」「単純図形(三角形・四角形・円など)の利用」}により,\ 計算量を減らそう. \\[.2zh] 時間の節約にもなり,\ 計算ミスを減らすことにもつながる. \\[1zh] 原点対称であるから,\ \bm{第1象限の面積を求めて2倍}する. \\[.2zh] また,\ この面積は\ 三角形\mathRM{OAB}+(斜線部分)-\triangle\mathRM{OCD}}\ で求まるため,\ 定積分計算は\ \bunsuu1x\ のみで済む. \\[.2zh] 三角関数が絡む面積もよく出題される. \\[.2zh] 面積そのものよりも,\ \bm{「三角関数のグラフの図示」「三角関数の積分計算」}が問われている. \\[1zh] 三角関数のグラフは,\ 三大要素\bm{「周期」「振幅」「位相」}を確認して素早く図示する. \\[.2zh] y=\cos2xのグラフはy=\cos xをx軸方向に\,\bunsuu12\,にしたものであるから,\ 周期が\ \pi\ となる. \\[.5zh] 両グラフは,\ 0\leqq x\leqq \pi\,ではx=\bunsuu12\pi\ に関して対称,\ \pi\leqq x\leqq2\pi\ ではx=\bunsuu32\pi\ に関して対称である. \\[.5zh] 結局,\ \bm{\bunsuu12\pi\leqq x\leqq\bunsuu32\pi\ の面積を2倍}して求めることができる. \\[1zh] このような基本的な問題の演習では,\ 単に解けるか否かというだけでなくスピードも意識しよう.    2つの楕円は原点中心であるから,\ それぞれ$\textcolor{cyan}{x軸とy軸に関して対称}である.$ \\[.2zh]    また,\ 2つの楕円同士は\textcolor{cyan}{直線$y=x$に関して対称}である. \\[.2zh]    よって,\ 求める面積は最下図の斜線部分の8倍である. \\[1.5zh]     \bunsuu{x^2}{a^2}+\bunsuu{y^2}{b^2}=1\ は,\ 原点中心,\ \bm{頂点(\pm\,a,\ 0),\ (0,\ \pm\,b)の楕円}である. \\[.8zh] また,\ 一般に\bm{xとyを入れ替えた関数は直線y=xに関して対称なグラフ}になる. \\[.2zh] 斜線部分は\triangle\mathRM{OAB}と水色部分に分けて求める. \\[.2zh] x^2+\bunsuu{y^2}{3}=1\ より\ y=\pm\ruizyoukon{3(1-x^2)}\ で,\ このうち楕円の上側を表すのは\ y=\ruizyoukon{3(1-x^2)}\ である. \\[.5zh] よって,\ これを区間\ \bunsuu{\ruizyoukon3}{2}\leqq x\leqq1\ で定積分すると水色部分の面積が求まる. \\[1.5zh] ここで,\ \bm{x^2\,の係数を無理矢理にでもくくり出す}と,\ \bm{\dint{\alpha}{\beta}\ruizyoukon{a^2-x^2}\,dx}\ の形に変形できる. \\[.8zh] そして,\ この定積分は図形的には\bm{円の面積の一部}を表す. \\[.2zh] y=\ruizyoukon{1-x^2}\ の両辺を2乗して整理すると\ x^2+y^2=1\ である. \\[.2zh] よって,\ \dint{\frac{\ruizyoukon3}{2}}{1}\ruizyoukon{1-x^2}\,dx\ は\bm{半径1の半円の\ \bunsuu{\ruizyoukon3}{2}\leqq x\leqq1\ の面積}である. \\[1.2zh] この部分の面積は,\ 半径1,\ 中心角30\Deg=\bunsuu{\pi}{6}\ の扇形の面積から三角形の面積を引けばよい. \\[1zh] なお,\ 扇形の面積の公式は\ \bunsuu12r^2\theta\ (\theta\,はラジアン)である. \\[1.5zh] 以上のように,\ \bm{楕円がらみの面積は必ず円の面積に帰着し,\ 定積分計算が必要ない.} \\[.2zh] これが本問の最大のポイントである. \\[.2zh] もし\ \dint{\frac{\ruizyoukon3}{2}}{1}\ruizyoukon{3-3x^2}\,dx\ を真面目に定積分しようとすると,\ x=\sin\theta\ として置換積分する羽目になる.