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曲線\ y=\log x\ をCとする.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}(1)\ \ $Cと,\ 原点からCに引いた接線と,\ x軸で囲まれた部分の面積S_1を求めよ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $Cとy=ax^2\ が接するとき,\ この2曲線とx軸で囲まれた部分の面積S_2を求めよ.$ \\  (1)\ \ $接点を(p,\ \log p)とする.\ また,\ y’=\bunsuu1x\ である.$ \\[.5zh]    $接線の方程式は y=\bunsuu1px+\log p-1   これが原点を通るとき p=e$ \\[.5zh] 図示は容易である.\ S_1を求めるのに必要なのは接点の座標である. \\[.2zh] 接点が不明な場合,\ とにかく\bm{接点を文字で設定する}のが基本であった. \\[.2zh] 接点が(p,\ f(p))のとき,\ 接線の方程式は y=f'(p)(x-p)+f(p) \\[.2zh] この公式を用いて接線の方程式をとりあえず作成し,\ 原点を通るようなpを求めればよい. \\[.2zh] つまり,\ 接線の方程式に(x,\ y)=(0,\ 0)を代入してpを求める. \\[.2zh] 接点が求まれば,\ \bm{(三角形)-(斜線部分)}でS_1が求まる.\ 結局,\ 接線の方程式は必要ない. \\[.2zh] なお,\ \bm{\dint{}{}\log x\,dx=x\log x-x+C}\ を公式として用いた(暗記推奨). \\\\ ちなみに,\ y軸方向に定積分して直接的に求めると次のようになる. \\[.5zh] x=e^y,\ \ x=ey より \dint{0}{1}(e^y-ey)\,dy=\teisekibun{e^y-\bunsuu12ey^2}{0}{1}=\bm{\bunsuu e2-1} 接点のx座標をpとする.$ \\[.2zh]    2曲線f(x),\ g(x)がx=pで接する条件は \bm{\begin{cases} f(p)=g(p) (接点のy座標が一致) \\[.2zh] f'(p)=g'(p) (接線の傾きが一致) \end{cases}} \\\\[-.5zh] \bunsuu1p=2ap\ \ より\ \ a=\bunsuu{1}{2p^2}   よって\ \ \log p=\bunsuu12\ \ より\ \ p=\ruizyoukon e \\[1zh] 結局,\ y=\bunsuu{1}{2e}x^2,\ x軸,\ x=\ruizyoukon e\ で囲まれた部分から斜線部分を引いて求めることになる.