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m,\ nを自然数とする.\ 第1象限内の曲線\ x^{\frac1m}+y^{\frac1n}=1\ とx軸,\ y軸で囲まれる部分の$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$面積をA(m,\ n)とする.$ \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $A(m,\ 1)を求めよ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $A(m,\ n+1)=\bunsuu{n+1}{m+1}\,A(m+1,\ n)であることを示せ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ $A(m,\ n)を求めよ.$                    [東京工業大] \\ 曲線$\bm{x^{a}+y^{b}=1}$の面積とベータ関数}}}} \\\\[.5zh] y=(1-x^{\frac1m})^n\,は\textcolor{cyan}{単調に減少}する.$ \\[.2zh]  $また,\ \textcolor{cyan}{2点(0,\ 1),\ (1,\ 0)を通る}ことを考慮すると,\ 求める面積は下図となる.$ \\\\ まずは求める面積を確認するために陽関数表示に変形する. \\[.2zh] 上図はm=n=2の場合だが,\ 単調減少と通る2点がおさえてあればそれ以上の正確さは必要ない. \\[.2zh] 後とは単純にn=1の場合の面積を求めるだけである. 多くの積分漸化式のパターンと同様に\bm{部分積分}する方法が考えられる. \\[.2zh] しかし,\ y=(1-x^{\frac1m})^n\ のまま部分積分しようとしてもうまくいかない. \\[.2zh] x^{\frac1m}=t\ と\bm{置換}することがポイントである.\ すると,\ 後で述べるように\bm{ベータ関数もどき}になる. \\[1zh] あらかじめA(m,\ n)を置換しておく.\ 後の部分積分に備え,\ mをインテグラルの外には出さない. \\[.2zh] \maru1を元にA(m,\ n+1)を部分積分で計算し,\ A(m+1,\ n)を整理したものと比較すればよい. (2)の漸化式を繰り返し適用すると,\ mが1ずつ増えていく代わりにnが1ずつ減っていく. \\[.2zh] これをn=1になるまで繰り返せば,\ (1)のA(m,\ 1)を利用できる. \\[.2zh] A(m,\ 1)=\bunsuu{1}{m+1}\ であるから,\ A(m+n-1,\ 1)=\bunsuu{1}{m+n}\ である. \\[1zh] m,\ nは自然数であるから,\ 次のように階乗でまとめておく. \\[.5zh]  本問の関連事項・背景を以下に示す代表的な曲線\ x^{a}+y^{b}=1\ のグラフ}$}} \\[.5zh] 以上の4つのグラフは常識としておこう. \\[.2zh] 絶対値をつけることでx\,→\,-x,\ \ y\,→\,-y\ としても式が変わらなくなる. \\[.2zh] 図形的にはx軸とy軸に関して対称なグラフになる. \\[.2zh] 左下のグラフ\ \ruizyoukon x+\ruizyoukon y=1\が\bm{放物線の一部}であることも重要である. \\[.2zh] 図ではわかりにくいが,\ アステロイドよりも放物線のほうがへこみが大きい. \\[.2zh] 大まかには,\ 指数が大きくなるほどふくらみ,\ 小さくなるほどへこむ傾向がある. ベータ関数}} \\[.5zh]   ベータ関数とは,\ $\textcolor{red}{\text{B}(p,\ q)=\dint{0}{1}x^{p-1}(1-x)^{q-1}\,dx}$\ のことである(積分漸化式で学習済み). \\[.2zh]   特に$m,\ nが自然数のとき,\ \textcolor{red}{\text{B}(m,\ n)=\bunsuu{(m-1)\kaizyou(n-1)\kaizyou}{(m+n-1)\kaizyou}}$\ と表すことができる. \\\\   さて,\ 置換後の$\textcolor[named]{ForestGreen}{A(m,\ n)=m\dint{0}{1}(1-t)^nt^{m-1}\,dt}$\ はベータ関数と酷似している. \\[.5zh]   つまり,\ 定積分の部分は,\ ベータ関数において\ $\textcolor{cyan}{p=m,\ q=n+1}$\ としたものである. \\[.2zh]   よって,\ $\textcolor{red}{A(m,\ n)=m\,\text{B}(m,\ n+1)}$\ と表せることがわかる. \   以上のようにして,\ ベータ関数を利用して$A(m,\ n)$を求めることができる. \\[.2zh]   $x^{\frac1m}=t$\ と置換したのには,\ このような背景があったわけである. \\\\\\  \textbf{\textcolor{blue}{$\bm{組合せ記号\ \kumiawase {m+n}{n}\ の実数への一般化}$}} \\[.5zh]   $場合の数分野$で学習した組合せ記号Cは自然数$m,\ n$に対して定義されている. \\[.2zh]   $\textcolor{cyan}{\kumiawase {m+n}{n}=\bunsuu{(m+n)\kaizyou}{m\kaizyou n\kaizyou}}\ であることを考慮すると,\ \ \textcolor{red}{\kumiawase {m+n}{n}=\bunsuu{1}{A(m,\ n)}}\ と表せる.$ \\[1zh]   $さて,\ 本問ではm,\ nが自然数の場合の面積A(m,\ n)を求めた.$ \\[.2zh]   $しかし,\ 同様にして\textcolor{red}{実数p,\ qに対する\ x^{\frac1p}+y^{\frac1q}=1\ の面積}を考えることができる.$ \\[.2zh]   $この面積を\textcolor{red}{A(p,\ q)}と表すことにする.$\\[.2zh]   $このとき,\ 実数p,\ qに対して\ \bm{\textcolor{red}{\kumiawase{p+q}{q}=\bunsuu{1}{A(p,\ q)}}}\ と定義するのが合理的である.$ \\[.2zh]   $このようにして,\ 組合せ記号\text{C}が実数にまで拡張できる.$ \\\\   $例として\ \textcolor[named]{ForestGreen}{p=q=\bunsuu12}\ の場合を考える.$ \\[.5zh]   $\textcolor[named]{ForestGreen}{円\ x^2+y^2=1\ (第1象限)の面積}となるから,\   $これは,\ \textcolor{red}{\kumiawase{1}{\frac12}=\bunsuu{1}{A\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu12,\ \bunsuu12\right)}=\bunsuu{4}{\pi}}\ であることを意味している.$ \\\\   $もはや,\ 1個から\,\bunsuu12\,個を選ぶ組合せが\,\bunsuu{4}{\pi}\,通りのような場合の数的な意味合いはない.$