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媒介変数表示\ $\begin{cases} x=\sin3\theta \\ y=\sin4\theta \\ \end{cases}\hspace{-.8zw}\left(0\leqq\theta\leqq\bunsuu{\pi}{4}\right)\ で表される曲線とx軸で囲まれた部分が$ \\[1.3zh] \hspace{.5zw}$x軸周りに1回転してできる立体の体積Vを求めよ.$ \\ まずグラフを図示して図形の形状を確認する.\ 媒介変数表示関数のグラフの図示が問われる. \\[.2zh] \bunsuu{dx}{d\theta},\ \bunsuu{dy}{d\theta}\ は,\ それぞれ\,\theta\,の変化に対するx方向,\ y方向の増減を表す.\ \\[.8zh] 5段の増減表を作成することで関数全体の動きがとらえられる. \\[.5zh] 例えば,\ 0\leqq\theta\leqq\bunsuu{\pi}{8}\ ではx方向に\,→,\ y方向に↑であるから,\ 右斜め上方向に進むことになる. \\[.8zh] 実際には,\ 主要4点をとって滑らかに結めば済む.\ 目的は面積なので,\ 概形がわかればよい. \\[.2zh] 半角の公式を用いて\,\theta=\bunsuu{\pi}{8}\ におけるxの値も求めたが,\ 面積を求めるだけなら実は必要ない. \\[.5zh] この曲線はリサジュー曲線の一部であり,\ 面積(媒介変数表示)で取り上げた問題と同じ曲線である. \\[1zh] x軸周りの回転体なので,\ \bm{必然的にx方向に積分}することになる.\ つまり,\ \bm{\pi\dint{}{}y^2\,dx}\ を計算する. \\[.2zh] しかし,\ 2つの問題点が存在する. \\[1zh] 1点目は,\ \bm{x軸方向に単調に増加するグラフではない}ことである. \\[.2zh] このため,\ \bm{x軸から見て上側のグラフy_1\,と下側のグラフy_2\,に分割して考える}必要がある. \\[.2zh] まず左上図が作る回転体の体積\ \pi\dint{0}{1}{y_1}^2\,dx\ を求め,\ そこから右上図\ \pi\dint{\frac{\ruizyoukon2}{2}}{1}{y_2}^2\,dx\ を引くことになる. \\\\ \bm{xとyが媒介変数で表されているために単純には計算できない}ことが2点目の問題である. \\[.2zh] わかりやすくするために一旦y_1\,とy_2\,としたが,\ どちらも\,\sin4\theta\,であるからyに戻す. \\[.2zh] つまり,\ \pi\dint{0}{1}\sin^24\theta\,dx-\pi\dint{\frac{\ruizyoukon2}{2}}{1}\sin^24\theta\,dx\ を計算することになる. \\[1zh] \sin4\theta\,をxで表すことができれば話は早いが,\ 本問では簡単にはいかない. \\[.2zh] また,\ 問題によってはそもそも不可能な場合もある. \\[.2zh] この場合,\ \bm{dxをd\theta\,に変換}するのが有効である.\ これは\bm{置換積分}することに相当する. \\[.2zh] つまり,\ \bunsuu{dx}{d\theta}=3\cos3\theta\ より,\ dx=3\cos3\theta\,d\theta\ とすればよい. \\[.5zh] 上の解答では簡単にするためにyや\,\bunsuu{dx}{d\theta}\,のまま記述した. \\[.8zh] d\theta\,にした時点で\bm{積分区間が変わる}ことにも注意する. \\[.2zh] さらに,\ 次のようにして\bm{2つの定積分を合体}できる. \bm{\dint{0}{\frac{\pi}{6}}-\dint{\frac{\pi}{4}}{\frac{\pi}{6}}=\dint{0}{\frac{\pi}{6}}+\dint{\frac{\pi}{6}}{\frac{\pi}{4}}=\dint{0}{\frac{\pi}{4}}} \\[1.2zh] 合体の必然性は大学範囲なので,\ 高校生がいきなり\ \pi\dint{0}{\frac{\pi}{4}}y^2\bunsuu{dx}{d\theta}d\theta\ と記述することは許されない. \\[2zh] 以上ができれば後は定積分計算するだけである. \\[.5zh] まず,\ 2倍角の公式\ \cos2\theta=1-2\sin^2\theta\ を逆に用いて次数を下げる. \\[.5zh] 展開した後,\ \cos8\theta\cos3\theta\ に積和の公式\ \cos\alpha\cos\beta=\bunsuu12\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}\ を適用する.