common-tangent

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2つの円\ C_1:x^2+y^2=4,\ \ C_2:(x-4)^2+y^2=1\ の両方に接する直線$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$は全部で4本ある.\ この4本の直線の方程式を求めよ.   [宮崎大]$ \\ 共通接線の本数は,\ 2つの円の位置関係によって変わる.}} \\  2つの円が離れている}}とき,\ \textbf{\textcolor{magenta}{共通外接線2本}}と\textbf{\textcolor{cyan}{共通内接線2本}}が存在する.  複数の解法が考えられるが,\ 最も簡潔なのが次の条件を考える方法である. \\[.5zh] 円$\bm{C_1}$の接線と円$\bm{C_2}$の中心との距離が円$\bm{C_2}$の半径に等しい.  直線\maru1と$と円C_2の中心(4,\ 0)の距離は   直線\maru1が$円C_2と接する条件は 状況的に,\ \bm{共通接線は4本求まるはず}だと予想しつつ,\ 問題を解いていく. \\ 接点が不明なので,\ \bm{接点を文字でおいて接線の方程式の公式を適用}する. \\ これと円C_2が接する条件は,\ \bm{中心(4,\ 0)との距離が半径1と等しい}ことである. \\ さらに,\ 接点が円C_1上にある条件を使うと,\ 絶対値付き方程式に帰着する.(瞬殺) \\ sが求まるから,\ 後はtを求めて接線の方程式に代入すればよい. \\ 自動的に4本の接線の方程式全てが求まる. \\[1zh] 共通接線は,\ 他にも以下のような解法が考えられる. \\  [1]\ 円C_1の接線の方程式と円C_2の接線の方程式が一致する条件を考える. \\  [2]\ 円C_1の接線の方程式が円C_2と接する条件を判別式でとらえる. \\  [3]\ y=mx+nと設定し,\ 円C_1,\ C_2のそれぞれと接する条件を考える. \\  [4]\ 直角三角形の相似を利用し,\ 幾何的に解く. \\[1zh] しかし,\ 次のような理由で,\ 本解に比べると不利となる. \\  [1]\ 4つの未知数が登場し,\ 直線の一致条件の処理が思いの外ややこしい. \\ \phantom{ [1]}\ ただし,\ 8個の接点の座標は求めやすい. \\  [2]\ 判別式は計算が大変.\ ただし,\ 残り4個の接点の座標は求めやすい. \\  [3]\ x軸に垂直な直線の場合分けを要する.\ また,\ 接する条件が2つ必要. \\  [4]\ 共通外接線と共通内接線の場合を分けて考える必要がある. \\[1zh] 結局,\ 「接線の公式」「点と直線の距離の公式」でいいとこ取りをした本解が推奨. \\ 少ない労力で,\ \bm{「接線4本(全部)」「接点4個(半分)」が一気に求まる.}