方程式の整数解(全ての解が整数の場合と少なくとも1つの解が整数の場合)

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(3)の解答で(α,m)=(5,11/3)となっていますが、(α,m)=(5,-11/3)の誤りですm(_ _)m

いずれも絶対ではないので,\ 他で取り上げた発想と共に試行錯誤してほしい. 全ての解が整数}ならば,\ 解と係数の関係}を適用する.}   少なくとも1つの解が整数}ならば,\ 整数解を文字でおいて代入する.    \ さらに,\ 最高次の項または定数項を分離し,\ 両辺を積の形にする.  \ $2つの解を\ α\ (整数),\ β}\ とおく.解と係数の関係}より 問題文には,\ 全ての解が整数であることまでは書かれていない. しかし,\ {解と係数の関係から,\ もう1つの解も整数である}ことがわかる. 一応,\ 2次方程式の解と係数の関係を確認しておく. ax²+bx+c=0の2解を\ α,\ β\ とするとき,\ α+β=- ba,\ αβ= ca 途中,\ {対称性を考慮して大小関係を設定する}と,\ 厳しく絞り込める. 3つの解法を示したが,\ やはり解と係数の関係がお勧めである. 1次であるmについて解き,\ 分子の次数を下げる. 分子が定数であるから,\ 分母は分子の約数であればmが整数となる. {1次の文字について解く}という発想は汎用性が高いので,\ 常に想定しておく. xに着目すると2次式の不定方程式であるから,\ 解の公式を適用する. 常により,\ 実数条件では絞れない. よって,\ {根号の中が平方数となるように文字でおいて不定方程式に帰着させる.} 後は平方完成して定数を右辺に分離すると,\ x²-y²=k型に帰着する. $3つの連続する正の整数解を解と係数の関係}より まず,\ 連続する正の整数解を文字でおく. 後は,\ 全ての解が整数であるから,\ 解と係数の関係を適用するだけで解ける. 3次方程式の解と係数の関係を確認しておく.\ ax³+bx²+cx+d=0の3解を 定数項を分離}]$} {少なくとも1つの解が整数なので,\ 整数解を文字でおいて代入する.} 本問は,\ {定数項を分離することで,\ 両辺を積の形に変形できる.} 後はしらみつぶしを行えばよい. 1次であるmで整理する.\ (分母)0を確認後,\ mについて解く. 分子の次数下げを行うと,\ {1次}{2次}を整数とする条件に帰着する. (分子)=0または分子}分母}が必要であることから絞り込む. であることより,\ 絶対値はすぐに外れるので楽である.
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