√f(x)が整数となる条件、f(x)が平方数となる条件

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10-x^2}\ が整数となるとき,\ その整数と自然数xを求めよ.$ \\[.8zh]
\hspace{.5zw}$(2)\ \ \ruizyoukon{x^2-12}\ が整数となるとき,\ その整数と自然数xを求めよ.$ \\[.8zh]
\hspace{.5zw}$(3)\ \ \ruizyoukon{x^2+5x}\ が整数となるとき,\ その整数と自然数xを求めよ.$ \\
\ruizyoukon{f(x)}\,が整数となる条件}}$}} \\\\
 $\ruizyoukon{f(x)}$が整数となる条件は,\ \textbf{\textcolor{blue}{$\bm{f(x)}$が平方数となる条件}}ともとらえられる. \\\\
 [1]\ \ $\bm{\textcolor{red}{(中身)\geqq0}}$として絞り込む. \\[1zh]
 [2]\ \ [1]で絞り込めない場合,\ \textbf{\textcolor{red}{$\bm{\ruizyoukon{f(x)}=m\ (m:整数)}$とおいて両辺を2乗する.}} \\[.2zh]
\phantom{ (1)}\ \ すでに学習済みの\textbf{\textcolor{purple}{不定方程式のパターンに帰着}}する. \\\\\\
x^2\,の係数が負ならば,\ 中身の図形的意味は上に凸の2次関数である. \\[.2zh]
よって,\ \geqq0となる範囲は限られるはずである. \\[.2zh]
x^2\,が平方数であることも考慮して絞り込む.
\ (m:0以上の整数)}\ とおける.$ \ 両辺を2乗すると 
\phantom{ (1)}\ \ また,\ $2m=(偶数)\ より,\ \textcolor{cyan}{x+mとx-mの偶奇は一致する.}$ \\[.5zh]
x^2\,の係数が正なので(中身)\geqq0で絞り込むことはできない. \\[.2zh]
常に\ruizyoukon{f(x)}\geqq0であるから,\ 整数m\geqq0とおける.\ \geqq0は絞り込みで役立つ. \\[.2zh]
結局,\ \bm{x^2-y^2=k型}の不定方程式に帰着する. \\[.2zh]
因数の範囲と大小関係を考慮すると,\ 1組にまで絞られる.
\bm{平方完成}により,\ \bm{x^2-y^2=k型}の不定方程式に帰着する. \\[1zh]
汎用性は低いが,\ 別解の発想を知っていると簡潔に済むことがある. \\[.2zh]
与式を何とかして\bm{できるだけ値が近い完全平方式(整式)^2\,ではさむ}ことを考える. \\[.2zh]
よって,\ (x+2)^2\,と(x+3)^2\,あたりではさめるのではないかと思いつく. \\[.2zh]
しかし,\ 実際に\bm{差を求めて確認}してみると,\ x^2+5x-(x+2)^2=x-4となる. \\[.2zh]
x-4は正になるとは限らないから,\ 常に(x+2)^2x^2+5xとなるとはいえない. \\[.2zh]
そこで,\ (x+1)^2\,で考え直すと,\ 常に(x+1)^2x^2+5xであることがわかる. \\[.2zh]
\bm{(x+1)^2\,と(x+3)^2\,の間にある平方数(x+2)^2\,と一致するしかない}というわけである.
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